حل المسألة: وضع الطلاب في صف مع شرط عدم الوقوف جنبًا إلى جنب (مسألة رياضيات)

يُرغب في معرفة عدد الطرق المختلفة التي يمكن لأربعة طلاب أن يقفوا في صف مستقيم إذا رفض طالبان أن يقفا بجوار بعضهما البعض.

المسألة الرياضية:

كيفية حساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن لأربعة طلاب أن يقفوا في صف مستقيم إذا رفض طالبان من بينهم أن يقفا بجوار بعضهما البعض؟

الحل:

لنحسب أولاً عدد الطرق التي يمكن للطلاب الأربعة الوقوف في صف مستقيم بدون أية قيود. عدد الطرق يكون 4! (4 عاملي)، حيث يوجد 4 خيارات لوضع الطالب الأول، و3 خيارات لوضع الطالب الثاني بعد ذلك، وهكذا.

إذاً، عدد الطرق الكلي لوضع الطلاب في صف مستقيم هو:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 طريقة.

الآن، لنحسب عدد الطرق التي يمكن للطلاب الأربعة الوقوف في صف مستقيم بحيث لا يكون الطالبان اللذان يرفضان الوقوف بجوار بعضهما البعض. لنفترض أن الطلاب اللذان يرفضان الوقوف جنبًا إلى جنب هما A وB.

للحصول على العدد المطلوب، يجب أن نحسب الطرق التي يمكن للطالبين A وB الوقوف بين الطلاب الآخرين، ومن ثم نقوم بطرق ترتيبهما مع بقية الطلاب. يمكن وضع A قبل B أو B قبل A.

لكل من هاتين الحالتين، يمكن وضع A و B في أي من ثلاث مواقع: قبل الطالب الأول، بين الطالب الأول والثاني، بعد الطالب الثاني.

إذاً، يمكننا حساب الطرق كالتالي:

عدد الطرق التي يمكن فيها وضع A قبل B: 3 × 2! × 2! = 12 طريقة.
عدد الطرق التي يمكن فيها وضع B قبل A: 3 × 2! × 2! = 12 طريقة.

المجموع الكلي للطرق هو 12 + 12 = 24 طريقة.

بالتالي، عدد الطرق التي يمكن لأربعة الطلاب الوقوف في صف مستقيم بحيث لا يقف الطلاب A وB جنبًا إلى جنب هو 24 طريقة.

لحل المسألة وحساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن لأربعة طلاب الوقوف في صف مستقيم مع شرط أن طالبين معينين لا يرغبان في الوقوف جنبًا إلى جنب، يمكننا استخدام مفهوم الاحتمالات وقوانين الاحتمالات المعروفة.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون العدد الكلي:
   نستخدم هذا القانون لحساب العدد الكلي للطرق التي يمكن للطلاب الأربعة الوقوف في الصف المستقيم بدون أي شروط. يتم ذلك عن طريق حساب العدد الإجمالي للترتيبات الممكنة للطلاب الأربعة.

2. قانون الاحتمال المشترك:
   هذا القانون يستخدم لحساب الاحتمالات عندما تكون هناك شروط متعددة. في هذه المسألة، نستخدمه لحساب الطرق التي يمكن فيها للطالبين اللذين يرفضان الوقوف جنبًا إلى جنب الوقوف بشكل منفصل ومن ثم نجمع النتائج.

الآن، لحساب عدد الطرق المختلفة:

1. العدد الكلي للترتيبات: نحسب العدد الكلي للترتيبات الممكنة للطلاب الأربعة باستخدام العملية الرياضية “4!” والتي تعني 4 عوامل وتساوي 24 طريقة.

2. حساب الاحتمال المشترك:

   • لحساب الطرق التي يمكن فيها وضع الطالبين اللذين يرفضان الوقوف جنبًا إلى جنب، نعتبرهما ككيان مشترك ونحسب عدد الطرق التي يمكن فيها وضعهما بالترتيب (2!) ونضربها في عدد الطرق التي يمكن فيها وضع الطلاب الآخرين (3!).
   • يتم ذلك مرتين للنظر في الطرق التي يمكن فيها وضع الطالبين بترتيبات مختلفة (A بجانب B و B بجانب A).

3. الجمع: نجمع عدد الطرق التي يمكن فيها وضع الطلاب بشكل عام بدون أي شروط والتي يمكن فيها وضع الطلاب بشرط عدم وقوف الطالبين اللذين يرفضان الوقوف جنبًا إلى جنب.

بهذه الطريقة، نجد أن العدد الكلي للطرق هو 24، والعدد الذي تم حسابه باستخدام الاحتمال المشترك هو 12، فنحصل على الإجابة النهائية بطرح العدد الثاني من الأول: 24 – 12 = 12 طريقة.

وهكذا، هناك 12 طريقة مختلفة يمكن لأربعة طلاب الوقوف في صف مستقيم مع شرط أن طالبين معينين لا يرغبان في الوقوف جنبًا إلى جنب.