حل المسألة: نمو البكتيريا الهندسي (مسألة رياضيات)

عدد خلايا البكتيريا في صحن المختبر يتضاعف كل أربع ساعات. إذا كان هناك 500 خلية بكتيرية في الصحن الآن، ففي كم ساعة سيصبح هناك بالضبط 32,000 بكتيريا؟

للحل:

نستخدم الصيغة التالية لحساب عدد البكتيريا في الزمن المحدد:

$N = N_0 \times 2^{(t/d)}$

حيث:

• $N$ هو عدد البكتيريا بعد مرور الزمن المحدد.
• $N_0$ هو العدد الأولي للبكتيريا.
• $t$ هو الزمن الذي مر.
• $d$ هو معامل الضعف.

في هذه المسألة:

• $N_0 = 500$ (عدد البكتيريا الأولي).
• $N = 32,000$ (العدد النهائي للبكتيريا).
• $d = 4$ (فترة الضعف).

نقوم بتوظيف الصيغة لحساب الزمن ($t$):

$32,000 = 500 \times 2^{(t/4)}$

للتخلص من المتغير في الأس العلوي، نقوم بقسمة الطرفين على 500:

$64 = 2^{(t/4)}$

ثم نأخذ لوغاريتم الطرفين للتخلص من الأس:

$\log_2(64) = \frac{t}{4}$

$6 = \frac{t}{4}$

نضرب الطرفين في 4:

$t = 24$

إذاً، سيستغرق الأمر 24 ساعة ليصل عدد البكتيريا في الصحن إلى 32,000.

لنقم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وذلك باستخدام القوانين والخطوات التي تمثل العملية الحسابية لحل المسألة.

القانون المستخدم:

نستخدم قانون النمو الهندسي لحساب عدد البكتيريا في المستقبل، وهو كما يلي:

$N = N_0 \times 2^{(t/d)}$

حيث:

• $N$ هو عدد البكتيريا بعد مرور الزمن المحدد.
• $N_0$ هو العدد الأولي للبكتيريا.
• $t$ هو الزمن الذي مر.
• $d$ هو معامل الضعف.

الحل:

1. بدايةً، نستخدم القيم المعطاة في المسألة:

   • $N_0 = 500$ (عدد البكتيريا الأولي).
   • $N = 32,000$ (العدد النهائي للبكتيريا).
   • $d = 4$ (فترة الضعف).

2. نقوم بتوظيف القانون في المسألة لحساب الزمن ($t$):

   $32,000 = 500 \times 2^{(t/4)}$

3. للتخلص من المتغير في الأس العلوي، نقوم بقسمة الطرفين على 500:

   $64 = 2^{(t/4)}$

4. ثم نأخذ لوغاريتم الطرفين للتخلص من الأس:

   $\log_2(64) = \frac{t}{4}$

5. نحسب اللوغاريتم:

   $6 = \frac{t}{4}$

6. نضرب الطرفين في 4:

   $t = 24$

إذاً، يستغرق الأمر 24 ساعة ليصل عدد البكتيريا في الصحن إلى 32,000.

القوانين المستخدمة:

• قانون النمو الهندسي ($N = N_0 \times 2^{(t/d)}$).

هذه القوانين تساعد في فهم وتحليل العملية الرياضية لحساب النمو في هذا السياق.