حل المسألة: نقاط التقاطع للمنحنيات الرياضية (مسألة رياضيات)

المعادلات الرياضية المعطاة هي $y=2x^2-4x+4$ و$y=-x^2-2x+4$. نبحث عن نقاط التقاطع بين هاتين المنحنيات، والتي يتم تعريفها عندما تكون القيمة في المعادلتين متساوية. لحسن الحظ، يمكننا حل هذه المسألة بدقة باستخدام الجبر.

نقوم بتعيين المعادلتين معًا للعثور على نقاط التقاطع:
$2x^2-4x+4 = -x^2-2x+4$

نقوم بجمع جميع الأعضاء في الجهتين وتبسيط المعادلة:
$3x^2 – 6x = 0$

نلاحظ أنه يمكننا القسمة على 3 لتبسيط المعادلة إلى:
$x(x – 2) = 0$

من هنا، نجد أن $x = 0$ أو $x = 2$. إذاً، نقاط التقاطع هي $(0, 4)$ و$(2, 0)$.

وفقًا للشروط في السؤال، يجب أن تكون $c \ge a$، لذا نرى أن $c = 2$ و $a = 0$، وبالتالي:
$c – a = 2 – 0 = 2$

إذا كانت الإجابة المطلوبة هي 2.

بالطبع، دعونا نستكمل تفاصيل حل المسألة ونركز على الخطوات الرياضية والقوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بالبحث عن نقاط التقاطع بين المنحنيات الرياضية المعطاة. لنبدأ بوضع المعادلتين معًا واستخدام الجبر لحساب قيم $x$ التي تحقق التقاطع:

المعادلات المعطاة هي:
$y = 2x^2 – 4x + 4$
$y = -x^2 – 2x + 4$

للعثور على نقاط التقاطع، نقوم بجمع الاثنين معًا:
$2x^2 – 4x + 4 = -x^2 – 2x + 4$

نقوم بترتيب الأعضاء وتبسيط المعادلة:
$3x^2 – 6x = 0$

القاعدة المستخدمة هنا هي “قاعدة الضرب الصفري” التي تقول إنه إذا كانت حاصل الضرب لعددين هو صفر، فإن أحد هذين العددين يجب أن يكون صفرًا.

نطبق هذه القاعدة هنا، حيث نقوم بعاملة $3x$ و $(x-2)$ للحصول على المعادلة:
$x(3x – 6) = 0$

الآن، لحسن الحظ، لدينا عامل يمكن أن يكون صفرًا، وهو $x$. ولكن نلاحظ أيضًا أن العامل الآخر $(3x – 6)$ يمكن أن يكون صفرًا أيضًا.

قاعدة “صفر المنتج” تنص على أنه إذا كان حاصل ضرب عدة عوامل يساوي صفرًا، فإن واحدة على الأقل من هذه العوامل يجب أن تكون صفرًا.

إذاً، لنحسب القيم الممكنة:
$x = 0$
$3x – 6 = 0 \implies x = 2$

لذا، لدينا نقطتين للتقاطع: $(0, 4)$ و $(2, 0)$. وحسب الشروط في السؤال، يجب أن يكون $c \ge a$، لذا $c = 2$ و $a = 0$، وبالتالي:
$c – a = 2 – 0 = 2$

القوانين المستخدمة هنا تشمل قاعدة الضرب الصفري وقاعدة صفر المنتج، وهي قوانين أساسية في الجبر تساعد في حل المعادلات وفهم نقاط التقاطع بين المنحنيات.