حل المسألة: مساحة مثلث مدرج بدائرة (مسألة رياضيات)

المثلث ذو الأضلاع بنسبة 3:4:5 محيط في دائرة لها نصف قطر يساوي 3. حدد مساحة المثلث، مستدعيًا النتيجة إلى أقرب مئة.

حل المسألة:

لنقم بتسمية الأضلاع بالطول a، b، وc على التوالي، حيث a يمثل الضلع الذي يقابل نسبة 3، b يقابل نسبة 4، و c يقابل نسبة 5.

إذاً، a = 3x، b = 4x، و c = 5x (حيث x هو عامل التناسب).

نعلم أن محيط المثلث يكون مجموع أطوال الأضلاع، لذا:

a + b + c = 3x + 4x + 5x = 12x.

وبما أن المثلث محيط في دائرة، يكون ثلاثي الزوايا المركزية له هو 360 درجة. ونعلم أن الزاويتين المتقابلتين لأطوال a و b تكمل بعضهما البعض لتكون زاوية قائمة (90 درجة).

لذا، نستخدم قانون قوس الزاوية المركزية للدائرة:

$\text{قوس الزاوية المركزية} = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{طول الضلع المتقابل للزاوية}}{2 \times \text{نصف قطر الدائرة}}\right)$

وبما أن الزاوية قائمة، يمكننا حساب القوس عن طريق:

$\text{قوس الزاوية المركزية} = 2 \times \arcsin\left(\frac{c}{2 \times \text{نصف قطر الدائرة}}\right)$

الآن، نستخدم هذا القوس لحساب المساحة باستخدام الصيغة:

$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\text{قوس الزاوية المركزية})$

أخيرًا، نستخدم القيم المعطاة في المسألة (نصف قطر الدائرة = 3) ونحسب القيم النهائية. يتم ذلك باستخدام آلة حاسبة أو برنامج حسابي.

تفضل، إليك كتابة المسألة باللغة العربية وحلاً مفصلًا:

المسألة:

ثُلاثية أضلاع لها نسبة طولية 3:4:5، تمد أضلاعها على التوالي بأطوال a، b، وc. يكون محيط المثلث هو 12x، حيث a = 3x، b = 4x، و c = 5x.

تكون هذه الثلاثية مدرجة في دائرة قطرها d، ونعلم أن نصف قطر الدائرة (r) يساوي 3.

المطلوب:

حساب مساحة المثلث المحيط في الدائرة، وتقديم النتيجة إلى أقرب مئة.

الحل:

1. حساب زاوية القوس المركزي المتناظرة مع الضلع c، وذلك باستخدام القانون التالي:
   $\text{قوس الزاوية المركزي} = 2 \times \arcsin\left(\frac{c}{2 \times r}\right)$

2. حساب مساحة المثلث باستخدام القانون التالي:
   $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\text{قوس الزاوية المركزي})$

3. إدراج القيم المعطاة (r = 3) والحسابات السابقة في الصيغة.

4. حساب القيم النهائية باستخدام الآلة الحاسبة أو البرنامج الحسابي.

5. تقديم النتيجة بالصيغة المطلوبة، مستدعيًا الرقم إلى أقرب مئة.

حل المسألة:

لحساب مساحة المثلث المحيط في الدائرة، نحتاج إلى اتباع الخطوات التالية:

1. حساب قيم a، b، وc:

   • بناءً على النسب المعطاة (3:4:5)، نفترض أن العامل التناسب هو x.
   • لذا، نحصل على a = 3x، b = 4x، و c = 5x.

2. حساب محيط المثلث:

   • جمع طول الأضلاع: $a + b + c = 3x + 4x + 5x = 12x$.

3. حساب زاوية القوس المركزي:

   • استخدام القانون: $\text{قوس الزاوية المركزي} = 2 \times \arcsin\left(\frac{c}{2 \times r}\right)$.
   • وبتعويض القيم (c = 5x، r = 3)، نحسب قيمة القوس.

4. حساب مساحة المثلث:

   • استخدام القانون: $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\text{قوس الزاوية المركزي})$.
   • وبتعويض القيم (a، b من الخطوة 1 وزاوية القوس من الخطوة 3)، نحسب مساحة المثلث.

5. تقديم النتيجة:

   • قد يكون من الأفضل استخدام آلة حاسبة أو برنامج حسابي لتقدير القيم النهائية بدقة، ومن ثم قدم النتيجة بالصيغة المطلوبة، مستدعيًا الرقم إلى أقرب مئة.

القوانين المستخدمة:

1. نسب الأضلاع:

   • نستخدم نسب الأضلاع المعطاة لتحديد طول كل ضلع في المثلث.

2. قانون قوس الزاوية المركزية:

   • يستخدم لحساب قوس الزاوية المركزية المتناظرة مع ضلع المثلث داخل الدائرة.

3. قانون حساب المساحة:

   • يستخدم لحساب مساحة المثلث بناءً على الأضلاع وزاوية القوس المركزي.