حل المسألة: قيمة التعبير المطلق

قم بحساب القيمة الدنيا للتعبير | x – 4 | + | x + 5 | + | x – 5 | عندما يكون x عددًا حقيقيًا. لحل هذه المسألة الرياضية، يمكننا القيام بالخطوات التالية:

1. قسّم المجال إلى مراحل مختلفة بناءً على تغيّر القيمة المطلوبة للقيمة المطلوبة | x – 4 | + | x + 5 | + | x – 5 |.

   مواضيع ذات صلة

   • 
     المبلغ المتبقي بعد الشراء. (مسألة رياضيات)
   • 
     حلاً تفصيلياً لمعادلة السين والكوس المعقدة (مسألة رياضيات)
   • 
     حل معادلة الإنفاق الشهري بسهولة (مسألة رياضيات)
   • 
     حساب ميل الخطوط: مشتقات جزئية (مسألة رياضيات)
   • 
     حل معادلات الاعتدال في الحساب المودولو (مسألة رياضيات)
   • 
     إجمالي الكتب في الفصل: 78 (مسألة رياضيات)

2. في كل مرحلة، استخدم قواعد القيم المطلقة لتحديد التعبير البسيط الذي يمكن استخدامه للتعبير عن القيمة المطلوبة.

3. احسب القيمة الدنيا لكل تعبير بحسب القيم المطلوبة للمتغير x في كل مرحلة.

4. اعثر على القيمة الدنيا للتعبير الكامل من خلال دمج القيم الدنيا لكل مرحلة.

الحل:

لتبسيط المسألة، لنقم بتحليل التعبير في ثلاث حالات مختلفة بناءً على قيمة x:

الحالة 1: عندما x < -5 التعبير يكون: -(x - 4) - (x + 5) - (x - 5) = -x + 4 - x - 5 - x + 5 = -3x + 4 - 5 + 5 = -3x - 1

الحالة 2: عندما -5 ≤ x < 4 التعبير يكون: (x - 4) - (x + 5) - (x - 5) = x - 4 - x - 5 - x + 5 = -3x - 4

الحالة 3: عندما x ≥ 4
التعبير يكون: (x – 4) + (x + 5) + (x – 5)
= x – 4 + x + 5 + x – 5
= 3x – 4

الآن، نحدد القيم الدنيا لكل حالة:

1. للحالة 1: القيمة الدنيا = -∞ (لأن -3x يزيد بلا حدود عندما x يقل دون حد أدنى محدد).
2. للحالة 2: القيمة الدنيا = -4 (عندما x = -5).
3. للحالة 3: القيمة الدنيا = -4 (عندما x = 4).

لذلك، القيمة الدنيا للتعبير الكامل هي -4 وتحقق عندما x = -5.

لحل المسألة، سنستخدم قوانين القيم المطلقة ونحل التعبير | x – 4 | + | x + 5 | + | x – 5 |. سنقوم بتحليل الحالات المختلفة بناءً على قيمة x ونستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة القيمة المطلقة (|a| = a إذا كان a ≥ 0، و |a| = -a إذا كان a < 0):
   هذه القاعدة تساعدنا على تحويل التعبيرات داخل القيم المطلقة إلى تعابير أكثر بساطة.

2. قاعدة الجمع للقيم المطلقة (|a + b| ≤ |a| + |b|):
   تساعدنا هذه القاعدة في تبسيط التعبيرات عند وجود مجموعات داخل القيم المطلقة.

3. تحديد المجالات (فصل المجالات إلى فترات حيث يكون التعبير داخل القيم المطلقة ثابتًا):
   يتيح لنا ذلك تبسيط المسألة وحساب قيمة التعبير بسهولة في كل فترة.

لنقم بحساب القيمة الدنيا عبر تحليل حالات مختلفة:

1. حالة 1: عندما x < -5
   في هذه الحالة:
   $| x – 4 | + | x + 5 | + | x – 5 | = -(x – 4) – (x + 5) – (x – 5) = -3x – 1$

2. حالة 2: عندما -5 ≤ x < 4
   في هذه الحالة:
   $| x – 4 | + | x + 5 | + | x – 5 | = (x – 4) – (x + 5) – (x – 5) = -3x – 4$

3. حالة 3: عندما x ≥ 4
   في هذه الحالة:
   $| x – 4 | + | x + 5 | + | x – 5 | = (x – 4) + (x + 5) + (x – 5) = 3x – 4$

القيمة الدنيا ستكون القيمة الصغرى من القيم الدنيا لكل حالة. لذا، سنقوم بمقارنة القيم:

1. عند $x < -5$، القيمة -3x – 1 تقل بلا حدود مع تقليل قيم x.
2. عند $-5 ≤ x < 4$، القيمة -3x – 4 تتحسن عندما تزيد قيم x.
3. عند $x ≥ 4$، القيمة 3x – 4 تتحسن عندما تزيد قيم x.

لذا، القيمة الدنيا هي -4 وتحدث عند $x = -5$.

تم استخدام القوانين المذكورة لتحليل التعبير وتبسيطه في كل فترة، مما أدى إلى التوصل إلى القيمة الدنيا للتعبير الكامل.