حل المسألة: عوامل العدد 3 في 31! (مسألة رياضيات)

نعطيك المعادلة m = 3 ^ n ونسأل عن أكبر قيمة لـ n التي يكون فيها m عاملًا لعبارة 31!.

للبداية، يمكننا تحليل الأسلوب الرياضي للعبارة 31! والتي تعبر عن مضاعفات جميع الأعداد من 1 إلى 31. في هذا السياق، نتعامل مع الأعداد الأولية وعواملها.

نعلم أن 3 هو العامل الوحيد الذي نستخدمه للتكوين (تحديدا 3^n). لذلك، نحن بحاجة إلى حساب كم مرة يظهر العدد 3 كعامل في عبارة 31!.

سنقوم بحساب ذلك باستخدام القاعدة البسيطة لحساب عدد الأعداد التي تحتوي على عامل محدد في مضاعفة. يمكننا حساب الأعداد التي تحتوي على عامل 3 كما يلي:

31 ÷ 3 = 10 (الأعداد 3، 6، 9، …، 30)

وهكذا نجد أن 3 يظهر كعامل في عبارة 31! مرة واحدة لكل 10 أعداد.

لكن يجب أن نتذكر أن لدينا مضاعفات إضافية للعدد 3 في بعض الأعداد، مثل 9 (الذي يحتوي على 2 عامل 3) و 27 (الذي يحتوي على 3 عوامل 3).

نعود إلى الحساب:

10 (من الأعداد 3، 6، 9، …، 30) + 3 (للعدد 9) + 1 (للعدد 27) = 14

لذا، 3 يظهر كعامل في 14 عددًا من عبارة 31!.

الآن، نرجع إلى المعادلة الأصلية m = 3 ^ n. لنجد أكبر قيمة لـ n:

3 ^ n = 14

نقوم بحساب اللوغاريتم الأساسي لـ 3 للعثور على n:

n = log₃(14)

وهنا يمكننا استخدام اللوغاريتم الطبيعي مع اللوغاريتم الأساسي:

n = ln(14) / ln(3)

الآن، يمكننا حساب هذا القيمة باستخدام الآلة الحاسبة أو البرمجة. قد تكون القيمة تقريبية، ولكن في النهاية، ستكون هذه هي القيمة المطلوبة لـ n بحيث يكون m عاملًا لعبارة 31!.

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح المزيد حول حل المسألة والقوانين التي تم استخدامها.

القوانين المستخدمة:

1. تحليل 31!: نقوم بفحص كيف يتكون العبارة 31! من مضاعفات الأعداد من 1 إلى 31.
2. حساب عدد الأعداد التي تحتوي على عامل 3: باستخدام القسمة، نحسب عدد الأعداد التي تحتوي على عامل 3 في المضاعفة.
3. معالجة الأعداد الإضافية: نأخذ في اعتبارنا الأعداد التي تحتوي على مضاعفات إضافية للعدد 3 (مثل 9 و 27).
4. معادلة الأس: نستخدم معادلة m = 3 ^ n لربط العامل m بالعدد n.
5. حساب اللوغاريتم: للعثور على القيمة الصحيحة لـ n، نقوم بحساب اللوغاريتم باستخدام اللوغاريتم الطبيعي.

الحل:
نبدأ بتحليل 31!:

$31! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 31$

نستخدم القسمة لحساب عدد الأعداد التي تحتوي على عامل 3:

$31 ÷ 3 = 10$

لكن هناك أعداد إضافية (9 و 27) تحتوي على مضاعفات إضافية للعدد 3، لذا نقوم بإضافتها:

$10 + 2 + 1 = 13$

الآن، نعتبر m = 3 ^ n. لحساب n، نستخدم اللوغاريتم:

$n = \frac{\ln(13)}{\ln(3)}$

نستخدم القاعدة الطبيعية لللوغاريتم للعثور على القيمة الصحيحة لـ n.

هذا يوضح الخطوات المستخدمة في حل المسألة، حيث قمنا بتحليل العبارة، واستخدمنا القوانين الرياضية لحساب الأعداد والمضاعفات، واستخدمنا المعادلات لربط العوامل المختلفة.