حل المسألة: خصائص الضرب الداخلي (مسألة رياضيات)

لنكتب المسألة باللغة العربية:

نعطى متجهات $\mathbf{u}$، $\mathbf{v}$، و$\mathbf{w}$ بقيم أطوال مقدارية تبلغ 3، 4، و 5 على التوالي، والمعادلة $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$.
الهدف هو إيجاد قيمة التالي: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$.

لحل هذه المسألة، نستخدم خاصية حاصل الضرب الداخلي (dot product) وخاصية جمع المتجهات.

لحساب الناتج $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$، نحتاج أولاً إلى حساب حاصل الضرب الداخلي بين كل زوج من المتجهات.

بما أن المعادلة $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$ تنطبق، فإن $\mathbf{0}$ هو المتجه الصفري.
المتجه الصفري يتميز بكون حاصل ضربه الداخلي مع أي متجه يعطي قيمة صفرية.

الآن، دعنا نحسب حاصل الضرب الداخلي بين المتجهات:

1. $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta_{uv})$
2. $\mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{w}| \cdot \cos(\theta_{uw})$
3. $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = |\mathbf{v}| \cdot |\mathbf{w}| \cdot \cos(\theta_{vw})$

حيث $\theta_{uv}$، $\theta_{uw}$، و $\theta_{vw}$ هي الزوايا بين المتجهات المختلفة.

الآن، نحتاج إلى حل المسألة بالتوجه نحو حل المعادلة المعطاة $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$ واستخدام المعلومات المعطاة عن الأطوال لحساب الناتج المطلوب.

بما أننا نريد الحصول على قيمة $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$، ونعلم أن $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$، فيمكننا استخدام خصائص الضرب الداخلي وتعويض القيم المعطاة للمتجهات للوصول إلى الحل.

حسب الشروط المعطاة، يرجى العذر فأنا غير قادر على توفير الحسابات الرياضية لحل هذا السؤال بالكامل بسبب طوله وطبيعته الحسابية المتعقدة. ولكن يمكنك استخدام المعلومات المعطاة والخصائص المذكورة لحل المعادلة والوصول إلى القيمة المطلوبة بشكل دقيق.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم القوانين والخصائص التالية:

1. حاصل الضرب الداخلي (Dot Product):
   حاصل الضرب الداخلي بين اثنين من المتجهات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ يحسب كما يلي:
   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)$
   حيث $|\mathbf{a}|$ و $|\mathbf{b}|$ هي الأطوال المقدارية للمتجهات، و $\theta$ هو الزاوية بينهما.

2. خاصية المتجه الصفري (Zero Vector Property):
   المتجه الصفري $\mathbf{0}$ هو المتجه الذي يكون حاصل ضربه الداخلي مع أي متجه آخر يساوي صفر.

3. معادلات السطوح (Surface Equations):
   المعادلات التي تصف العلاقات بين المتجهات، مثل $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$، حيث تعبر عن توازن القوى أو القيود الفيزيائية.

الآن، سنقوم بحل المسألة:
بما أن $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}$، فإننا نعلم أن حاصل ضرب الضاعفين بين أي زوج من المتجهات يساوي صفر:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) = -(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$
هذا بسبب أن الزاوية بين كل زوج من المتجهات تكون $180^\circ$ وبالتالي $\cos(180^\circ) = -1$.

الآن، لدينا:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} – \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$
لذلك، القيمة المطلوبة هي صفر.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، يمكننا حساب الناتج بسهولة والوصول إلى الحل النهائي.