حل المسألة: حجم المكعب والهرم (مسألة رياضيات)

المكعب ذو طول حافة 4 وحدات له نفس الحجم مثل هرم ذو قاعدة مربعة طول حافة القاعدة لها X وارتفاع h وحدة. ما قيمة h؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 3، فما قيمة المتغير X الغير معروف؟

الحل:
لحساب حجم المكعب، نستخدم الصيغة التالية:
$V_{\text{cube}} = \text{side length}^3$

وبما أن طول حافة المكعب يساوي 4، فإن حجم المكعب يكون:
$V_{\text{cube}} = 4^3 = 64$

أما حجم الهرم، فيتم حسابه بالصيغة التالية:
$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3} \times \text{base area} \times \text{height}$

ومن المعروف أن مساحة قاعدة الهرم هي $\text{base edge length}^2$، لذا:
$\text{base area} = X^2$

وبالتالي، يكون حجم الهرم:
$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3} \times X^2 \times h$

ووفقًا للسؤال، يكون حجم المكعب مساوياً لحجم الهرم:
$64 = \frac{1}{3} \times X^2 \times h$

من السؤال الذي ذكر أن قيمة h تساوي 3، نحصل على المعادلة التالية:
$64 = \frac{1}{3} \times X^2 \times 3$
$64 = X^2$

لحل هذه المعادلة، نعلم أن القيمة الموجبة لـ X تكون 8 (لأن 8 مربع يساوي 64)، لذا قيمة X هي 8.

إذا، القيمة المجهولة X تساوي 8 وقيمة المتغير h تساوي 3.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم حجم المكعب وحجم الهرم مع تطبيق القوانين الرياضية المناسبة. القوانين المستخدمة هي:

1. حجم المكعب:
   حجم المكعب يُحسب برفع طول الحافة إلى القوة الثالثة، ويُمثل حجم المكعب بالصيغة: $V_{\text{cube}} = \text{side length}^3$.

2. حجم الهرم:
   حجم الهرم يُحسب بضرب ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع، ويُمثل حجم الهرم بالصيغة: $V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3} \times \text{base area} \times \text{height}$.

بالنظر إلى المعطيات في المسألة، نعرف أن حجم المكعب مساوي لحجم الهرم. وبما أن لدينا قيمة حجم المكعب (64)، ونريد حساب ارتفاع الهرم وطول قاعدته، يمكننا بناء المعادلة التالية:

لحجم المكعب:
$V_{\text{cube}} = 64$

لحجم الهرم:
$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3} \times X^2 \times h$

من المسألة، نعرف أن $V_{\text{cube}} = V_{\text{pyramid}}$، لذا:

$64 = \frac{1}{3} \times X^2 \times h$

مع الأخذ بعين الاعتبار أن قيمة h تساوي 3 (وهي المعطاة في السؤال)، يصبح لدينا المعادلة:

$64 = \frac{1}{3} \times X^2 \times 3$

$64 = X^2$

الآن، لحل المعادلة، نحتاج إلى استخدام جذر التربيع، ونحصل على:

$X = \sqrt{64}$

$X = 8$

إذاً، قيمة المتغير X الذي يمثل طول حافة قاعدة الهرم هي 8 وحدات.

وبالتالي، القوانين المستخدمة هي قوانين حسابية أساسية في حساب حجوم الأشكال الهندسية، وهي قوانين تطبق عمومًا في الجبر والهندسة الفضائية.