حل المسألة: توازن العمل الجماعي (مسألة رياضيات)

من المعطيات، يمكن للفرد أن ينجز نصف العمل في 70 يومًا، ويمكن للشخص الآخر إنجاز ثلث العمل في 35 يومًا. نريد حساب الوقت الذي يحتاجهان معًا لإكمال العمل بأكمله.

للبداية، نحسب معدل أداء الشخص الأول (A)، وهو أنه ينجز نصف العمل في 70 يومًا. إذاً، يمكن حساب معدل أداءه كالتالي: معدل A = 1 / 70 لكل يوم.

ثم، نحسب معدل أداء الشخص الثاني (B) الذي ينجز ثلث العمل في 35 يومًا. إذاً، معدل B = 1 / 35 لكل يوم.

الآن، عندما يعملون معًا، يمكن جمع معدلاتهما للحصول على معدل الأداء الإجمالي (A + B) لكل يوم.

A + B = (1 / 70) + (1 / 35)

لتسهيل الجمع، يجب أن نجمع الكسور، ويمكننا فعل ذلك عبر إيجاد القاسم المشترك الأصغر. في هذه الحالة، القاسم المشترك هو 70، لذلك:

A + B = (1 / 70) + (2 / 70)

الآن، بما أن الكسور لديها نفس المقام، يمكننا جمع الأعداد العددية فقط:

A + B = 3 / 70 لكل يوم

الآن، بعد أن حصلنا على معدل الأداء الإجمالي (A + B)، يمكننا حساب الوقت الذي يحتاجهما لإكمال العمل بأكمله عبر تقسيم 1 على معدل الأداء الإجمالي:

الوقت الكلي = 1 / (A + B)

الوقت الكلي = 1 / (3 / 70)

لحساب هذا الكسر، يمكننا ضربه في العدد القلوبي للكسر الثاني (قلب الكسر):

الوقت الكلي = 70 / 3 أيام

لذا، يحتاجون معًا إلى 70 / 3 أيام لإكمال العمل بأكمله.

بالطبع، دعونا نستكمل حلاً مفصلًا للمسألة ونشرح القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة.

المسألة تتحدث عن فعالية أفراد يقومون بأجزاء مختلفة من العمل، ونحتاج إلى حساب معدلات أدائهم الفردي ومن ثم جمعها للحصول على معدل أداء الفريق.

لنحسب معدل أداء الشخص الأول (A)، نستخدم القانون التالي:
$\text{معدل A} = \frac{\text{العمل المنجز}}{\text{الوقت المستغرق}}$

ومن المعطيات نعلم أن الشخص A يقوم بنصف العمل في 70 يومًا، لذا:
$\text{معدل A} = \frac{1}{2} \div 70 = \frac{1}{140}$

بناءً على نفس المبدأ، نقوم بحساب معدل الشخص الثاني (B) الذي يقوم بثلث العمل في 35 يومًا:
$\text{معدل B} = \frac{1}{3} \div 35 = \frac{1}{105}$

الآن، نستخدم قانون جمع المعدلات للحصول على معدل الأداء الإجمالي (A + B):
$\text{معدل A + B} = \frac{1}{140} + \frac{1}{105}$

لجعل الجمع أسهل، نجمع الكسور:
$\text{معدل A + B} = \frac{3}{420} + \frac{4}{420} = \frac{7}{420}$

الآن، بموجب قانون حساب الوقت المستغرق للعمل (الوقت = العمل / المعدل)، نحسب الوقت الذي يحتاجهما معًا لإكمال العمل بأكمله:
$\text{الوقت الكلي} = \frac{1}{\text{معدل A + B}} = \frac{420}{7}$

هذا يساوي:
$\text{الوقت الكلي} = 60$

لذا، يحتاجون معًا إلى 60 يومًا لإكمال العمل بأكمله.

القوانين المستخدمة هي قوانين النسب والتناسب وحساب الوقت المستغرق للعمل.