حل المسألة: تحليل تعبير النسبة (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد القيمة القصوى للتعبير التالي:

وذلك عندما يكون $-4\leq x \leq -2$ و $2\leq y \leq 4$.

لنبدأ بتبسيط التعبير، نقوم بفصل $x$ في البسط والمقام:

الآن، نحتاج إلى النظر في الفترة التي يأخذ فيها $x$ و$y$ القيم المحددة. عند $x = -4$، نحصل على أصغر قيمة ممكنة للمقام وأكبر قيمة ممكنة للبسط، بينما عند $x = -2$، نحصل على أكبر قيمة ممكنة للمقام وأصغر قيمة ممكنة للبسط. الأمر معكوس بالنسبة لـ$y$؛ عند $y = 4$، نحصل على أكبر قيمة ممكنة للمقام وأصغر قيمة ممكنة للبسط، بينما عند $y = 2$، نحصل على أصغر قيمة ممكنة للمقام وأكبر قيمة ممكنة للبسط.

الآن، لنبدأ بتحليل النسبة:

1. عندما $x = -4$ و$y = 4$، نحصل على:

2. عندما $x = -4$ و$y = 2$، نحصل على:

3. عندما $x = -2$ و$y = 4$، نحصل على:

4. عندما $x = -2$ و$y = 2$، نحصل على:

يتضح من النتائج أن أكبر قيمة ممكنة للنسبة هي 1 عندما $x = -4$ و$y = 2$، وهي الإجابة النهائية.

لحل المسألة وإيجاد القيمة القصوى للتعبير $\frac{x+y}{x}$ عند $-4\leq x \leq -2$ و $2\leq y \leq 4$، سنتبع الخطوات التالية:

1. تبسيط التعبير: نقوم بتقسيم $x$ في البسط والمقام للتعبير $\frac{x+y}{x}$، مما يعطينا $1 + \frac{y}{x}$.

2. تحديد القيود: نحدد القيود على $x$ و $y$ وهي $-4\leq x \leq -2$ و $2\leq y \leq 4$.

3. تحليل الحالات المختلفة: نقوم بتحليل القيم المختلفة لـ $x$ و $y$ داخل القيود المعطاة ونحسب قيمة التعبير $\frac{x+y}{x}$ في كل حالة.

4. تحديد القيمة القصوى: نختار أكبر قيمة تمامًا للتعبير $\frac{x+y}{x}$ بين القيم المحسوبة في الحالات المختلفة.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون القسمة: حيث قمنا بتقسيم $x$ في البسط والمقام للتعبير $\frac{x+y}{x}$، مما أدى إلى الشكل $1 + \frac{y}{x}$.

2. تحديد القيم المسموح بها: استخدمنا القيود المعطاة $-4\leq x \leq -2$ و $2\leq y \leq 4$ لتحديد نطاق القيم المسموح بها لـ $x$ و $y$.

3. تحليل الحالات المختلفة: قمنا بتحليل القيم المختلفة لـ $x$ و $y$ داخل النطاقات المحددة، وحساب قيمة التعبير في كل حالة.

4. اختيار القيمة القصوى: بعد حساب قيمة التعبير $\frac{x+y}{x}$ في كل حالة، اخترنا القيمة الأكبر تمامًا كقيمة قصوى.