حل المسألة الهندسية بالكسور (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو العنصر الأول في سلسلة هندسية لا نهائية، حيث يكون معامل النسبة هو 1/8، ومجموع السلسلة يساوي 60؟

لحل هذه المسألة، نستخدم الصيغة العامة لمجموع السلسلة الهندسية اللامتناهية، والتي تعطى بالصيغة:

$S = \frac{a}{1 – r}$

حيث:

• $S$ هو مجموع السلسلة.
• $a$ هو العنصر الأول في السلسلة.
• $r$ هو معامل النسبة.

وفي هذه الحالة، نعلم أن $S = 60$ و $r = \frac{1}{8}$، لذا يمكننا إعادة كتابة الصيغة كالتالي:

$60 = \frac{a}{1 – \frac{1}{8}}$

نقوم بحساب المعامل في المقام:

$60 = \frac{a}{\frac{7}{8}}$

ثم نقوم بضرب الطرفين في 8 لتخليص النسبة في المقام:

$480 = 7a$

وبالتالي:

$a = \frac{480}{7}$

لذا، العنصر الأول في السلسلة هو $\frac{480}{7}$.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، نستخدم قوانين السلاسل الهندسية ونطبقها على المعطيات المعطاة في المسألة.

المسألة تتعلق بسلسلة هندسية لا نهائية، وهي سلسلة تتكون من عناصر تتابع بناءً على نسبة ثابتة تسمى معامل النسبة. في هذه الحالة، نعلم أن معامل النسبة هو $\frac{1}{8}$ وأن مجموع السلسلة يساوي 60.

قانون مجموع السلسلة الهندسية اللامتناهية يعطينا الصيغة التالية:

$S = \frac{a}{1 – r}$

حيث:

• $S$ هو مجموع السلسلة.
• $a$ هو العنصر الأول في السلسلة.
• $r$ هو معامل النسبة.

نطبق هذه الصيغة على المعطيات في المسألة، حيث $S = 60$ و $r = \frac{1}{8}$:

$60 = \frac{a}{1 – \frac{1}{8}}$

نقوم بتوسيع المقام:

$60 = \frac{a}{\frac{7}{8}}$

ثم نقوم بضرب الطرفين في 8 لتخليص النسبة في المقام:

$480 = 7a$

ونحل للعنصر الأول $a$:

$a = \frac{480}{7}$

لذا، العنصر الأول في السلسلة هو $\frac{480}{7}$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون مجموع السلسلة الهندسية اللامتناهية.
2. قوانين العمليات الحسابية (الجمع والطرح والضرب).

هذه القوانين تعتمد على فهم المفاهيم الرياضية الأساسية والتعامل مع الكسور والعمليات الحسابية الأساسية.