حل المسألة الهندسية باستخدام السلسلات (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة المجموع التالي:

$\frac{1}{2^1} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \cdots$

لنقم بتحليل النمط الذي يتبعه المجموع:

• العنصر الأول: $\frac{1}{2^1}$
• العنصر الثاني: $\frac{2}{2^2}$
• العنصر الثالث: $\frac{3}{2^3}$
• وهكذا.

نلاحظ أن العناصر تأخذ النسبة $\frac{k}{2^k}$، حيث $k$ هو المؤشر للعنصر في المتتابعة.

لحساب المجموع، سنقوم بتجزئة كل عنصر ومن ثم جمعها:
$\frac{1}{2^1} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \cdots$

نقوم بتجزئة العناصر على النحو التالي:
$\frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{3}{2^3} = \frac{3}{8}$
وهكذا.

الآن نرى أن النسبة للعناصر تأخذ شكل قواسم من سلسلة هندسية متتالية. القيم القواسم تتباعد بنسبة $\frac{1}{2}$، وهي النسبة التي نظرنا إليها في تجزئة العناصر.

لحل المسألة، نستخدم مفهوم مجموع سلسلة هندسية:
$S = \frac{a}{1 – r}$
حيث:

• $S$ هو مجموع السلسلة.
• $a$ هو العنصر الأول في السلسلة.
• $r$ هو النسبة الثابتة بين العناصر.

في حالتنا:

• $a = \frac{1}{2}$ (العنصر الأول).
• $r = \frac{1}{2}$ (النسبة بين العناصر).

نقوم بتطبيق القيم في الصيغة:
$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

إذا، قيمة المجموع هي 1.

لحل مسألة حساب قيمة المجموع $\frac{1}{2^1} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \cdots$، سنقوم بتطبيق مبدأ السلسلة الهندسية وقوانين حساب المجموعات اللامتناهية.

1. تحليل النمط:
   نقوم بفحص النمط الذي تتبعه العناصر في المجموع. نرى أن العناصر تتزايد بوتيرة هندسية، حيث يتم ضرب العناصر السابقة في النسبة $\frac{1}{2}$ للحصول على العنصر التالي.

2. تجزئة العناصر:
   نقوم بتجزئة كل عنصر من المجموعة بحيث نجعل القوى تتسلسل بشكل مناسب. على سبيل المثال، نقوم بتقسيم كل عنصر على $2^k$ للحصول على الشكل الصحيح لكل عنصر.

3. تطبيق مبدأ السلسلة الهندسية:
   نستخدم صيغة مجموع السلسلة الهندسية لحساب المجموع. الصيغة تأخذ الشكل التالي: $S = \frac{a}{1 – r}$
   حيث:

   • $S$ هو مجموع السلسلة.
   • $a$ هو العنصر الأول في السلسلة.
   • $r$ هو النسبة الثابتة بين العناصر.

4. حساب القيم:
   بعد تحديد القيم الأولية والنسبة الثابتة، نقوم بإدخالها في الصيغة وحساب الناتج.

حل المسألة:

1. تحليل النمط:
   نرى أن النمط يتبع نسبة ثابتة بين العناصر.

2. تجزئة العناصر:
   نقوم بتجزئة كل عنصر على $2^k$، وهو العنصر الذي يأتي في مكانه.

3. تطبيق مبدأ السلسلة الهندسية:

   • $a = \frac{1}{2}$ (العنصر الأول).
   • $r = \frac{1}{2}$ (النسبة بين العناصر).
   • نستخدم الصيغة: $S = \frac{a}{1 – r}$

4. حساب القيم:
   نقوم بإدخال القيم في الصيغة:
   $S = \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

القوانين المستخدمة:

• مبدأ السلسلة الهندسية لحساب مجموع سلسلة ذات نسب ثابت بين العناصر.
• تجزئة العناصر لتحويل السلسلة إلى سلسلة هندسية.
• قواعد الجمع والطرح في العمليات الحسابية البسيطة.