حل المسألة الرياضية: دوال والتركيب (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

لنفترض أنّ $f(x) = 6x – 9$ و $g(x) = \frac{x}{3} + 2$. ما قيمة $f(g(x)) – g(f(x))$؟

الحل:

نبدأ بحساب $f(g(x))$. نستبدل $g(x)$ في دالة $f(x)$ بمعادلتها:

وفقاً لتعريف $f(x)$، نستبدل $x$ بـ $\frac{x}{3} + 2$ في $f(x)$:

الآن، لنحسب $g(f(x))$. نستبدل $f(x)$ في $g(x)$ بمعادلتها:

وباستخدام تعريف $g(x)$، نستبدل $x$ بـ $6x – 9$ في $g(x)$:

الآن، نحسب الفارق بين $f(g(x))$ و $g(f(x))$:

نقوم بالطرح:

إذن، قيمة $f(g(x)) – g(f(x))$ هي 4.

لحل المسألة واستنتاج قيمة $f(g(x)) – g(f(x))$، نستخدم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والدوال. إليك الخطوات بتفصيل أكبر:

1. تعريف الدوال:

   • $f(x) = 6x – 9$
   • $g(x) = \frac{x}{3} + 2$

2. تطبيق دالة داخل دالة:

   • $f(g(x))$ تعني أننا نأخذ الدالة $g(x)$ ونستخدمها كإدخال للدالة $f(x)$.
   • $g(f(x))$ تعني أننا نأخذ الدالة $f(x)$ ونستخدمها كإدخال للدالة $g(x)$.

3. حساب $f(g(x))$:

   • نستبدل $x$ في $f(x)$ بـ $g(x)$.
   • نستبدل $g(x)$ في $f(x)$ بمعادلتها ونقوم بالحساب.

4. حساب $g(f(x))$:

   • نستبدل $x$ في $g(x)$ بـ $f(x)$.
   • نستبدل $f(x)$ في $g(x)$ بمعادلتها ونقوم بالحساب.

5. الفارق بين النتائج:

   • نطرح قيمة $g(f(x))$ من قيمة $f(g(x))$.

الآن، نقوم بتطبيق هذه الخطوات باستخدام الدوال المعطاة:

أولاً، حساب $f(g(x))$:

$f(g(x)) = f\left(\frac{x}{3} + 2\right)$

$= 6\left(\frac{x}{3} + 2\right) – 9$

$= 2x + 12 – 9$

$= 2x + 3$

ثانياً، حساب $g(f(x))$:

$g(f(x)) = g(6x – 9)$

$= \frac{6x – 9}{3} + 2$

$= 2x – 3 + 2$

$= 2x – 1$

وأخيراً، حساب الفارق:

$f(g(x)) – g(f(x)) = (2x + 3) – (2x – 1)$

$= 2x + 3 – 2x + 1$

$= 4$

في هذا الحل، استخدمنا القوانين الأساسية للعمليات الجبرية مثل قانون الاستبدال وقوانين الجمع والطرح. كما قمنا بتطبيق الدوال داخل بعضها البعض واستخراج القيم باستخدام التعريفات المعطاة.