حل المسألة الرياضية: تصنيف الأعداد الفردية (مسألة رياضيات)

لنكن $n$ عدد الأرباع الرتبية المرتبة $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ من الأعداد الفردية الإيجابية التي تحقق المعادلة التالية: $\sum_{i=1}^4 x_i = 98.$ هدفنا هو حساب النسبة $\frac{n}{100}.$

لحل هذه المسألة، دعونا نقوم بتحليل الوضع. يُطلب منا البحث عن الأرباع الرتبية حيث يكون مجموع الأعداد الفردية الإيجابية فيها يساوي 98. نعلم أن الأعداد الفردية تكون بشكل عام في صورة $2k + 1$ حيث $k$ عدد صحيح. لذلك يمكننا تجسيد المعادلة بالشكل التالي:

$(2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + (2k_3 + 1) + (2k_4 + 1) = 98.$

نقوم بتوحيد الأعداد الفردية ونقسم على 2 للتبسيط:

$k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 48.$

هذه المعادلة تشبه معادلة المجموعات، حيث يجب علينا اختيار 3 أعداد صحيحة إيجابية من بين $k_1، k_2، k_3، k_4$ لتكوين مجموعها 48. يمكننا حساب عدد الطرق لاختيار هذه الأعداد باستخدام الجمع المكرر والتصنيف.

بما أنه يتعين علينا اختيار 3 من أصل 4 أعداد، يمكننا حساب عدد الطرق باستخدام الصيغة التالية:

${4 \choose 3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4.$

إذاً، هناك 4 طرق لاختيار 3 أعداد من بين $k_1، k_2، k_3، k_4.$

الآن، بمجرد أن قمنا باختيار الأعداد $k_1، k_2، k_3$، يمكننا حساب قيمة $k_4$ ببساطة باستخدام المعادلة السابقة: $k_4 = 48 – (k_1 + k_2 + k_3).$

بما أن القيم الممكنة للـ $k$ هي الأعداد الصحيحة الإيجابية، يجب علينا التحقق من أن جميع الأعداد $k_1، k_2، k_3، k_4$ هي إيجابية. إذاً، نقوم بفحص الشروط التالية:

1. $k_1 > 0$
2. $k_2 > 0$
3. $k_3 > 0$
4. $k_4 > 0$

نحسب القيم الممكنة للـ $k_1، k_2، k_3، k_4$ باستخدام هذه الشروط، ونحسب عدد الطرق للحصول على الحلول.

بعد حساب جميع الحلول الممكنة، نقوم بجمعها للحصول على القيمة النهائية لـ $n$.

أخيرًا، نستخدم العلاقة $\frac{n}{100}$ للحصول على الإجابة المطلوبة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليلها بمزيد من التفصيل، وسنستخدم قوانين الجمع المكرر والتصنيف.

المعادلة التي نحاول حلها هي:
$k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 48.$

حيث $k_1, k_2, k_3, k_4$ هي أعداد صحيحة إيجابية. نحتاج إلى اختيار 3 من بين هذه الأعداد لتحقيق المعادلة. لذلك، نستخدم قاعدة الجمع المكرر (Combinations) لحساب عدد الطرق الممكنة للاختيار:

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4.$

هذا يعني أنه يمكننا اختيار 3 أعداد من بين $k_1, k_2, k_3, k_4$ بـ4 طرق مختلفة.

الآن، بمجرد أن قمنا بتحديد الـ$k_1, k_2, k_3$، يمكننا حساب القيمة المتبقية $k_4$ ببساطة:

$k_4 = 48 – (k_1 + k_2 + k_3).$

نحتاج أيضًا إلى التحقق من أن $k_1, k_2, k_3, k_4$ هي أعداد صحيحة إيجابية. يجب أن تتوافر الشروط التالية:
$k_1 > 0, \quad k_2 > 0, \quad k_3 > 0, \quad k_4 > 0.$

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قاعدة الجمع المكرر (Combinations): هذه القاعدة تستخدم لحساب عدد الطرق لاختيار عدد معين من العناصر من بين مجموعة.

2. تكرار الجمع (Repetition): تمثله العلاقة $k_4 = 48 – (k_1 + k_2 + k_3)$، حيث نعيد استخدام الجمع للحصول على القيمة المتبقية.

3. التحقق من الشروط: نستخدم الشروط للتحقق من أن القيم $k_1, k_2, k_3, k_4$ هي أعداد صحيحة إيجابية.

بعد حساب جميع الحلول الممكنة والتحقق من الشروط، يمكننا جمع الحلول للحصول على القيمة النهائية لـ $n$.

أخيرًا، يمكننا استخدام العلاقة $\frac{n}{100}$ للحصول على النسبة المطلوبة.