حل المسألة الرياضية: بحث عن القيمة الدنيا (مسألة رياضيات)

نريد حساب القيمة الدنيا للتعبير:
$\frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)} + \frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}$
حيث $x, y, z$ هي أعداد حقيقية تقع في النطاق $-1 < x, y, z < 1$.

للوصول إلى الحل، سنقوم بتطبيق تقنية الانتقال بالتماثل، حيث سنقوم بتعويض $x$ بـ $-x$ وكذلك $y$ بـ $-y$ و $z$ بـ $-z$ وسنرى كيف يؤثر ذلك على التعبير.

لنقم بتبسيط التعبير بعد تعويض $x$ بـ $-x$، $y$ بـ $-y$، و $z$ بـ $-z$:
$\frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)} + \frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)}$

الآن، نلاحظ أن كل من $(1 – x)$، $(1 – y)$، و $(1 – z)$ يتحولون إلى $(1 + x)$، $(1 + y)$، و $(1 + z)$ بعد التعويض، والعكس صحيح أيضًا. لذلك يصبح لدينا:

$\frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)} + \frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)} = \frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)} + \frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}$

وهذا يعني أن التعبير أحادي القيمة بالنسبة للتعويض المذكور.

المقدمة في حالنا تعني أن الحد الأقصى والحد الأدنى لكل من $x$، $y$، و $z$ هو 1 و -1 على التوالي.

عندما يكون $x = 1$، $y = 1$، و $z = 1$، يصبح التعبير:
$\frac{1}{(1 – 1)(1 – 1)(1 – 1)} + \frac{1}{(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)} = \frac{1}{0} + \frac{1}{8} = +\infty$

عندما يكون $x = -1$، $y = -1$، و $z = -1$، يصبح التعبير:
$\frac{1}{(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)} + \frac{1}{(1 – 1)(1 – 1)(1 – 1)} = \frac{1}{8} + \frac{1}{0} = +\infty$

إذا، منطقيا، لا يمكن أن يكون هناك حد أدنى، لأن التعبير يمكن أن يصل إلى قيم غير محدودة عندما تكون المتغيرات قريبة من حدودها.

بالتالي، لا يوجد حد أدنى لهذا التعبير.

لنحاول فهم المسألة وحلها بشكل أكثر تفصيلاً. المعادلة التي نريد حلها هي:

$\frac{1}{(1 – x)(1 – y)(1 – z)} + \frac{1}{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}$

ونحن بحاجة إلى معرفة القيمة الدنيا لهذه المعادلة عندما تكون $-1 < x, y, z < 1$.

في هذه المسألة، يمكننا استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية، بما في ذلك:

1. قانون حساب المتغيرات: نستخدمه لتطبيق التعويض وتغيير قيم المتغيرات.
2. الانتقال بالتماثل: حيث يمكن استخدامه لإظهار أن التعبير أحادي القيمة.
3. الحدود العليا والسفلى للمتغيرات: يُفهم من المسألة أن $x, y, z$ تتواجد في المجال $-1 < x, y, z < 1$.

المسألة تحتاج إلى فحص دقيق للعوامل التي تؤثر على القيمة. ونتيجة لتفاوت القيم المطلوبة لـ $x، y، z$، يصعب تحديد قيمة دنياً للتعبير. في الواقع، مع الاهتمام بالقيود المفروضة على $x، y، z$، يصعب تحديد قيمة محددة لهذا التعبير.

بشكل عام، من الممكن أن تكون القيم المفروضة على $x، y، z$ غير كافية لتحديد قيمة دنياً، وقد تؤدي تلك القيم إلى إمكانية الوصول إلى قيم غير محدودة للتعبير.

بناءً على هذه النقاط، يمكن القول إنه لا يوجد حد أدنى للتعبير الرياضي المعطى.