مسائل رياضيات

حل المسألة الرياضية باستخدام الكسور (مسألة رياضيات)

نريد حساب القيمة الدنيا الممكنة للمتغير التالي:
a2b+b4c+c8a,\frac{a}{2b} + \frac{b}{4c} + \frac{c}{8a},
حيث a, b,a,\ b, و cc هي أعداد حقيقية إيجابية.

لحل هذه المسألة، نبدأ بتحليل كل جزء من المتغير. في البداية، لدينا a2b\frac{a}{2b}، ثم b4c\frac{b}{4c}، وأخيراً c8a\frac{c}{8a}.

للوهلة الأولى، يبدو أنه لا يمكننا الوصول إلى حلاً بدون تداول القيم لهذه المتغيرات. ولكن من خلال النظر في هذه الكسور، نلاحظ أن الأساس في كل جزء يتضاعف.

نبدأ بمعالجة الجزء الأول a2b\frac{a}{2b}، حيث نلاحظ أنه إذا قمنا بضرب المقام والبسط في هذا الجزء في 2، سنحصل على 2a4b\frac{2a}{4b}، وهي تكون مشابهة للجزء الثاني b4c\frac{b}{4c}.

الآن، بعد هذه العملية، نستطيع أن نجمع الجزءين المتشابهين:
2a4b+b4c=2a+b4b.\frac{2a}{4b} + \frac{b}{4c} = \frac{2a + b}{4b}.

الآن، نلاحظ أن لدينا جزء آخر c8a\frac{c}{8a}، وهنا نستطيع أن نفكك هذا الجزء عبر ضرب المقام والبسط في 2:
c8a=c24a=c2(22a).\frac{c}{8a} = \frac{c}{2 \cdot 4a} = \frac{c}{2 \cdot (2 \cdot 2a)}.

وهكذا، نجد أن 2a+b4b+c2(22a)\frac{2a + b}{4b} + \frac{c}{2 \cdot (2 \cdot 2a)} يشبه تمامًا تكرار الجزء الأول. وبالتالي، يمكننا تجميع هذه الأجزاء معًا للحصول على:
2a+b4b+c2(22a)=2(2a+b)4b+c22a.\frac{2a + b}{4b} + \frac{c}{2 \cdot (2 \cdot 2a)} = \frac{2(2a + b)}{4b} + \frac{c}{2 \cdot 2a}.

والآن نجد أن لدينا تكرار مشابه في المقام، لذا يمكننا تجميع الجزءين للحصول على:
2(2a+b)4b+c22a=2(2a+b)+2c4b.\frac{2(2a + b)}{4b} + \frac{c}{2 \cdot 2a} = \frac{2(2a + b) + 2c}{4b}.

أخيرًا، نستطيع تقسيم المقام والبسط على 2 للوصول إلى الشكل النهائي:
2(2a+b)+2c4b=4a+2b+2c4b=4(a+12b+12c)4b=a+12b+12cb.\frac{2(2a + b) + 2c}{4b} = \frac{4a + 2b + 2c}{4b} = \frac{4(a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c)}{4b} = \frac{a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c}{b}.

وبهذا الشكل، وبناءً على الظروف المعطاة، يمكننا القول أن الحد الأدنى للمتغير الأصلي هو 1\boxed{1}.

المزيد من المعلومات

لنقم بحل تلك المسألة بتفصيل أكثر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

المتغير الذي نحاول حساب الحد الأدنى له هو:
a2b+b4c+c8a.\frac{a}{2b} + \frac{b}{4c} + \frac{c}{8a}.

لنقم بتحليل الجملة الأولى a2b\frac{a}{2b}. نستطيع كتابتها بشكل آخر كالتالي: a2b=12ab\frac{a}{2b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}. هنا نستخدم خاصية تحويل الكسور حيث نقوم بضرب المقام والبسط في 2.

بنفس الطريقة، يمكن كتابة الجملة الثانية b4c\frac{b}{4c} على النحو التالي: b4c=14bc\frac{b}{4c} = \frac{1}{4} \cdot \frac{b}{c}.

وأخيرًا، الجملة الثالثة c8a\frac{c}{8a} يمكن تعبيرها على النحو التالي: c8a=18ca\frac{c}{8a} = \frac{1}{8} \cdot \frac{c}{a}.

الآن، نقوم بجمع هذه الجمل بشكل كامل:
12ab+14bc+18ca.\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{1}{4} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{8} \cdot \frac{c}{a}.

الآن، نستخدم قاعدة جمع الكسور التي تقول إنه إذا كانت المقامات متساوية، يمكن جمع البسطين ووضعهما في مقام واحد. نطبق هذه القاعدة هنا:
12ab+14bc+18ca=12a+2bb+18ca.\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{1}{4} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{8} \cdot \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + 2b}{b} + \frac{1}{8} \cdot \frac{c}{a}.

الآن، نقوم بجمع الكسور الأولى، ولكن قبل ذلك نقوم بتوسيع الكسور ليكون لدينا نفس المقام:
12a+2bb=a+2b2b.\frac{1}{2} \cdot \frac{a + 2b}{b} = \frac{a + 2b}{2b}.

الآن، نستطيع جمع الكسور:
a+2b2b+18ca=4(a+2b)+b8b.\frac{a + 2b}{2b} + \frac{1}{8} \cdot \frac{c}{a} = \frac{4(a + 2b) + b}{8b}.

وأخيرًا، نقوم بتبسيط الكسر:
4(a+2b)+b8b=4a+8b+b8b=4a+9b8b.\frac{4(a + 2b) + b}{8b} = \frac{4a + 8b + b}{8b} = \frac{4a + 9b}{8b}.

الآن، يمكننا أن نلاحظ أن المقام في الناتج 8b يمكن إلغاؤه مع محاصيل 8 في البسط:
4a+9b8b=1832a+72b8b.\frac{4a + 9b}{8b} = \frac{1}{8} \cdot \frac{32a + 72b}{8b}.

وأخيرًا، نقوم بتوسيع الكسر ونقل العدد 1/8 إلى الأمام:
1832a+72b8b=32a+72b64b=a+92b8b.\frac{1}{8} \cdot \frac{32a + 72b}{8b} = \frac{32a + 72b}{64b} = \frac{a + \frac{9}{2}b}{8b}.

لذلك، الحد الأدنى للمتغير الأصلي هو a+92b8b\frac{a + \frac{9}{2}b}{8b}، والذي يمكن تبسيطه إلى 116a+932b\boxed{\frac{1}{16}a + \frac{9}{32}b}.

في هذا الحل، استخدمنا قوانين جمع الكسور وتحويل الكسور لتبسيط التعبير والوصول إلى الحل النهائي.