حل المسألة الحسابية: أضعاف 15 والعوامل الأولية (مسألة رياضيات)

إذا كان العدد الصحي $k$ يساوي مجموع جميع الأضعاف الزوجية للعدد 15 بين 390 و 615، فما هو أكبر عامل أولي لـ $k$؟

الحل:

لحساب قيمة $k$، نحتاج إلى جمع جميع الأضعاف الزوجية للعدد 15 في النطاق بين 390 و 615. لنقم بذلك بطريقة منهجية.

أولاً، نجد أضعاف العدد 15:
$15 \times 1 = 15, \, 15 \times 2 = 30, \, 15 \times 3 = 45, \, \ldots$

نركز على الأضعاف الزوجية:
$30, \, 60, \, 90, \, \ldots$

الآن، نقوم بحساب عدد الأضعاف الزوجية بين 390 و 615. نقسم الفرق بين هاتين القيمتين على 30 (الفرق بين أي زوجيين متتاليين) ونضيف واحد للحصول على عدد الأضعاف:
$\frac{615 – 390}{30} + 1 = 9 + 1 = 10$

لدينا الآن 10 أضعاف زوجية. لحساب قيمة $k$، نقوم بضرب 15 في مجموع هذه الأضعاف:
$k = 15 \times (30 + 60 + 90 + \ldots)$

لتسهيل الحساب، نقوم بتجميع المصطلحات:
$k = 15 \times (30 \times (1 + 2 + 3 + \ldots + 10))$

نستخدم القاعدة الشهيرة لجمع تسلسل الأعداد الطبيعية:
$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}$

باستخدام هذه القاعدة، نحسب مجموع الأضعاف:
$k = 15 \times (30 \times \frac{10 \times 11}{2})$

الآن نقوم بحساب قيمة $k$:
$k = 15 \times (30 \times 55) = 24750$

أخيرًا، للعثور على أكبر عامل أولي لـ $k$، نقوم بتحليل $k$ إلى عوامله الأولية. بعد التحليل، نجد أن أكبر عامل أولي هو 5. إذاً، الإجابة هي 5.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح تفاصيل أكثر في حل المسألة وذلك باستخدام القوانين الرياضية المعمول بها. لحل هذه المسألة، سنقوم بالتالي:

1. حساب الأضعاف الزوجية للعدد 15:
   $15 \times 1 = 15, \, 15 \times 2 = 30, \, 15 \times 3 = 45, \, \ldots$
   نركز على الأضعاف الزوجية:
   $30, \, 60, \, 90, \, \ldots$

2. تحديد عدد الأضعاف الزوجية في النطاق المحدد:
   نقوم بحساب عدد الأضعاف الزوجية بين 390 و 615. نستخدم الصيغة:
   $\text{عدد الأضعاف} = \frac{\text{الفرق بين الحد الأعلى والحد الأدنى}}{\text{الزيادة بين الأضعاف} + 1}$
   $\text{عدد الأضعاف} = \frac{615 – 390}{30} + 1 = 9 + 1 = 10$

3. حساب قيمة $k$ باستخدام مجموع الأضعاف:
   $k = 15 \times (30 + 60 + 90 + \ldots)$
   باستخدام قاعدة جمع تسلسل الأعداد الطبيعية:
   $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}$
   يمكننا تجميع المصطلحات:
   $k = 15 \times (30 \times \frac{10 \times 11}{2})$

4. الحساب النهائي لقيمة $k$:
   $k = 15 \times (30 \times 55) = 24750$

5. تحليل $k$ إلى عوامله الأولية:
   نقوم بتحليل $k$ إلى عوامله الأولية للعثور على أكبر عامل أولي.

6. تحديد العامل الأولي الأكبر:
   بعد التحليل، نجد أن أكبر عامل أولي هو 5.

باختصار، في هذا الحل تم استخدام قوانين جمع تسلسل الأعداد الطبيعية ومضاعفة الأعداد للوصول إلى القيمة النهائية $k$، ومن ثم تم تحليلها إلى عواملها الأولية للعثور على أكبر عامل أولي.