حل المسألة: الحد الأدنى لتعبير الدوال (مسألة رياضيات)

لأي عدد صحيح إيجابي $n$ تكون قيمة التعبير $\frac{n}{2} + \frac{18}{n}$ الأصغر؟

للعثور على القيمة الأصغر لهذا التعبير، يجب أولاً أن نعبر عنه بشكل مناسب. لنقم بذلك:

نريد أن نقلل التعبير $\frac{n}{2} + \frac{18}{n}$ إلى صورة واحدة لتسهيل عملية البحث عن القيمة الأصغر. لذلك، يمكننا استخدام العملية الحسابية لإيجاد المشتقة الأولى لهذا التعبير ووضعها تساوي الصفر للعثور على النقطة الحرجة. ثم نقوم بفحص النقطة الحرجة وحدود الدالة لنحدد أين يكون الحد الأدنى.

لنبدأ بحساب المشتقة الأولى للتعبير:

نقوم بحساب المشتقة بالنسبة لـ $n$:

ثم نحل المشتقة للعثور على النقطة الحرجة:

لكن نحن نبحث عن قيمة صحيح إيجابية، لذا نختار $n = 6$ كقيمة للنقطة الحرجة.

الآن، لاختبار ما إذا كانت هذه النقطة هي نقطة دنو أو نقطة أقصى، نقوم بفحص قيم الدالة في النقطة الحرجة وحولها.

عندما $n = 6$:

عندما $n = 5$:

عندما $n = 7$:

من الملاحظ أن قيمة التعبير عند $n = 6$ هي الأصغر.

إذا، القيمة الأصغر للتعبير هي عند $n = 6$، وتساوي $6$.

لحل المسألة وإيجاد القيمة الأصغر للتعبير $\frac{n}{2} + \frac{18}{n}$، نستخدم مفهوم الدوال والتفاضل. هنا هي الخطوات بتفاصيل أكثر مع القوانين المستخدمة:

1. تعريف الدالة: نعرف الدالة $f(n) = \frac{n}{2} + \frac{18}{n}$، حيث $n$ عدد صحيح إيجابي.

2. حساب المشتقة الأولى: نستخدم قاعدة قوة الدوال وقاعدة القوة للكسور لحساب المشتقة الأولى للدالة $f(n)$ بالنسبة لـ $n$.

   $$f(n) = \frac{n}{2} + \frac{18}{n}$$
   $$f'(n) = \frac{d}{dn} \left(\frac{n}{2} + \frac{18}{n}\right)$$
   $$f'(n) = \frac{1}{2} – \frac{18}{n^2}$$

3. حل المعادلة التفاضلية: نضع المشتقة الأولى مساوية للصفر للعثور على النقاط الحرجة.

   $$0 = \frac{1}{2} – \frac{18}{n^2}$$
   $$\frac{18}{n^2} = \frac{1}{2}$$
   $$n^2 = \frac{18}{\frac{1}{2}} = 36$$
   $$n = \pm 6$$

4. فحص النقاط الحرجة والحدود: نفحص قيم الدالة في النقطة الحرجة وحولها لتحديد ما إذا كانت نقطة دنو أو نقطة أقصى.

   • عندما $n = 6$:
     $$f(6) = \frac{6}{2} + \frac{18}{6} = 3 + 3 = 6$$
   • عندما $n = 5$:
     $$f(5) = \frac{5}{2} + \frac{18}{5} \approx 2.5 + 3.6 \approx 6.1$$
   • عندما $n = 7$:
     $$f(7) = \frac{7}{2} + \frac{18}{7} \approx 3.5 + 2.57 \approx 6.07$$

5. استنتاج الحل: من المقارنة بين القيم، نجد أن قيمة التعبير عند $n = 6$ هي الأصغر.

بالمختصر، في هذا الحل استخدمنا قوانين التفاضل والتكامل لحساب المشتقة الأولى للدالة، ثم استخدمنا هذه المشتقة لحل المعادلة التفاضلية والعثور على النقاط الحرجة. بعد ذلك، قمنا بفحص قيم الدالة حول النقاط الحرجة لتحديد القيمة الأصغر.