حل المسألة الجبرية: التبسيط والتطبيق (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير $(a^3+b^3)\div(a^2-ab+b^2)$ عندما تكون $a=5$ و $b=4$.

أولاً، لنعيد صياغة التعبير بطريقة مفيدة:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2 – ab + b^2}$

ثم، لنقم بتطبيق القواعد الجبرية لحساب التعبير. نعلم أنه يمكننا كتابة مجموعة معادلات للقوى الثلاثية، حيث:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

وهذا يعني أننا نستطيع كتابة:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2 – ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 – ab + b^2)}{a^2 – ab + b^2} = a + b$

الآن، بما أننا عرفنا أن قيمة $(a^3 + b^3)\div(a^2 – ab + b^2)$ تساوي $a + b$، نقوم بوضع القيم المعطاة $a=5$ و $b=4$ في المعادلة:
$a + b = 5 + 4 = 9$

إذاً، قيمة التعبير $(a^3+b^3)\div(a^2-ab+b^2)$ عندما $a=5$ و $b=4$ هي 9.

لحل المسألة وايضا لتوضيح العمليات الجبرية التي تم استخدامها، سنقوم بتفصيل الحل خطوة بخطوة مع ذكر القوانين والمفاهيم الجبرية المستخدمة:

التعبير الذي نريد حساب قيمته هو:
$(a^3 + b^3) \div (a^2 – ab + b^2)$

1. استخدام القانون الجبري لمجموعة القوى الثلاثية (مجموعة فيرما):
   نستخدم القانون التالي:
   $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

هذا القانون يتيح لنا تفكيك مجموعة القوى الثلاثية إلى عاملين.

2. تطبيق القانون:
   نقوم بتطبيق القانون على التعبير:
   $(a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

3. إلغاء العامل المشترك:
   نلاحظ أن عامل $(a^2 – ab + b^2)$ مشترك في البسط والمقام، لذا يتم إلغاؤه:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2 – ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 – ab + b^2)}{a^2 – ab + b^2}$

4. التبسيط:
   يتم إلغاء العامل المشترك $(a^2 – ab + b^2)$ في البسط والمقام، مما يؤدي إلى التبسيط:

$\frac{(a + b)(a^2 – ab + b^2)}{a^2 – ab + b^2} = a + b$

5. وضع القيم والحساب:
   نعوض قيم $a = 5$ و $b = 4$ في التعبير:
   $a + b = 5 + 4 = 9$

إذاً، قيمة التعبير $(a^3+b^3)\div(a^2-ab+b^2)$ عندما $a=5$ و $b=4$ هي 9.

القوانين والمفاهيم الجبرية المستخدمة في هذا الحل تشمل:

• قانون مجموعة القوى الثلاثية (فيرما).
• التبسيط الجبري.
• إلغاء العامل المشترك.
• استخدام القيم المعطاة لحساب القيمة النهائية.