حل المسألة: أقصى قيمة لـ b في مثلث قائم (مسألة رياضيات)

إذا كان $a^2 + b^2 = 144$ وكان $ab \neq 0$، فإن أكبر قيمة ممكنة لـ $b$ تكون بين:

$a^2 + b^2 = 144$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام مبدأ فائقة المثلث، حيث يكون مربع الوتر (في هذه الحالة الجذر التربيعي للمجموع $a^2 + b^2$) هو مجموع مربعين الأضلاع القائمة.

إذا كنا نعلم أن $a^2 + b^2 = 144$، يمكننا استنتاج أن لدينا مثلث قائم الزوايا حيث تكون الأضلاع القائمة هي $a$ و $b$. لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$a^2 + b^2 = c^2$

حيث $c$ هو الوتر أو الفرضية في المثلث القائم. في هذه الحالة، $c$ يكون جذر المجموع $a^2 + b^2$، أي $c = \sqrt{144} = 12$.

الآن، لنحدد الحد الأقصى لقيمة $b$، يجب علينا أن نأخذ في اعتبارنا أن $ab \neq 0$. لتحقيق أكبر قيمة ممكنة لـ $b$، يجب أن يكون $a$ أقل قيمة ممكنة. وبما أن $a$ و $b$ هما أضلاع في مثلث قائم، يمكننا أن نفترض أن القيمة الصغرى لـ $a$ تكون $1$ (مع مراعاة $ab \neq 0$).

إذاً، نستخدم معادلة فائقة المثلث للعثور على قيمة $b$ المطلوبة:

$a^2 + b^2 = c^2$

$1^2 + b^2 = 12^2$

$1 + b^2 = 144$

$b^2 = 143$

$b = \sqrt{143}$

بالتالي، القيمة الصحيحة لـ $b$ تكون $\sqrt{143}$، وهي أكبر قيمة ممكنة لـ $b$ بناءً على الشروط المعطاة.

لحل المسألة، سنستخدم مبدأ فائقة المثلث (Pythagorean theorem)، الذي ينص على أن في مثلث قائم الزوايا، مربع طول الوتر (الفرضية) يكون مساويًا لمجموع مربعي طول الضلعين القائمين. للمثلث القائم الذي يتكون من الأضلاع $a$ و $b$ والفرضية $c$، يكون المبدأ كالتالي:

$a^2 + b^2 = c^2$

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ فائقة المثلث (Pythagorean Theorem): ينطبق في المثلث القائم، حيث $c$ هو الوتر (الفرضية)، و $a$ و $b$ هما طول الضلعين القائمين.

2. شرط $ab \neq 0$: يُفرض لضمان أن الضلعين $a$ و $b$ لا يكونان متساويين للصفر، لأن ذلك قد يؤدي إلى إلغاء المعادلة.

الآن، لنحسن فهم الحل:

1. معرفة قيمة الفرضية $c$: استخدمنا معلومات المسألة لحساب قيمة $c$ باستخدام جذر المجموع $a^2 + b^2$.

2. تحديد الحد الأقصى لقيمة $b$: لتحديد أكبر قيمة ممكنة لـ $b$، افترضنا أن $a$ هو أقل قيمة ممكنة (في هذه الحالة $1$) بحيث $ab \neq 0$.

3. استخدام معادلة فائقة المثلث لحساب $b$: قمنا بتطبيق معادلة فائقة المثلث للعثور على قيمة $b$ بعد تحديد $a$ و $c$.

4. الناتج النهائي: وجدنا أن أكبر قيمة ممكنة لـ $b$ هي $\sqrt{143}$.

هذا الحل يستند إلى مفاهيم هندسية مهمة وقوانين رياضية تُستخدم في مجالات مختلفة، وهو يظهر كيف يمكن دمج هذه القوانين لحل مسألة رياضية محددة.