حل المسألة: أعداد صغرى بنظام 7 والأرقام 4 و 5 (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الصحيحة الإيجابية الصغرى التي يتم كتابتها في نظام العد السباعي وتحتوي على الرقم 4 أو 5 أو كلاهما هو 343. لحل هذه المسألة، يجب أولاً تحديد كيفية تمثيل الأعداد السباعية ومن ثم عد الأعداد التي تحتوي على الرقم 4 أو 5.

نظام العد السباعي يستخدم الأرقام من 0 إلى 6. لذلك، يمكننا تمثيل الأعداد الصحيحة الصغرى من 1 إلى 343 في نظام العد السباعي.

لحساب عدد الأعداد التي تحتوي على الرقم 4 أو 5 أو كلاهما، نقوم بتحليل كل رقم في كل عدد. إذا كان الرقم يحتوي على 4 أو 5، فإنه يسهم في العد الإجمالي. لدينا 3 أرقام ممكنة يمكن أن تظهر في كل رقم (0 و 4 و 5).

لحساب عدد الأعداد التي تحتوي على الرقم 4، يمكن أن يظهر الرقم 4 في أي من الأماكن الثلاث (الواحدات والعشرات والمئات)، لذا عدد الأعداد التي تحتوي على 4 هو 3 × 3 × 3 = 27.

بنفس الطريقة، يمكن أن يظهر الرقم 5 في أي من الأماكن الثلاث، لذا عدد الأعداد التي تحتوي على 5 هو أيضاً 27.

وبما أن السؤال يسأل عن الأعداد التي تحتوي على 4 أو 5 أو كلاهما، يجب أن نضيف الأعداد التي تحتوي على 4 فقط والتي تحتوي على 5 فقط، ونخصص لها عدداً لتجنب الاحتساب المتكرر.

لذا، إجمالاً، عدد الأعداد التي تحتوي على 4 أو 5 أو كلاهما هو 27 + 27 – عدد الأعداد التي تحتوي على 4 و 5 معًا.

لحساب عدد الأعداد التي تحتوي على 4 و 5 معًا، يمكن أن يظهر الرقم 4 في أي من الأماكن الثلاث والرقم 5 في أي من الأماكن الثلاث، لذا عدد الأعداد التي تحتوي على 4 و 5 معًا هو 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

بالتالي، الإجمال النهائي لعدد الأعداد التي تحتوي على 4 أو 5 أو كلاهما هو 27 + 27 – 81 = 108.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين العد والتمثيل السباعي، ونقوم بتحليل الأعداد وفهم كيفية تأثير الأرقام 4 و 5 على النتيجة. سنقوم بتحليل العدد 343 في نظام العد السباعي ونستخدم بعض القوانين الرياضية الأساسية.

أولاً، نقوم بتحويل العدد 343 إلى نظام العد السباعي:

$343_{10} = 1111_7$

حيث أن $1111_7$ يعني أن الرقم 1 يظهر في كل من الواحدات والعشرات والمئات في نظام العد السباعي.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو قانون الضرب في حالة الأعداد المتعددة. إذا كنت تريد حساب عدد الطرق التي يمكن أن تظهر فيها الرقم 4 أو 5 (أو كلاهما) في كل مكان، يجب ضرب الأعداد الممكنة في كل مكان.

لدينا 3 أماكن (واحدات وعشرات ومئات)، لذا سنقوم بالضرب في 3:

$3 \times 3 \times 3 = 27$

هذا يمثل عدد الطرق التي يمكن أن يظهر فيها الرقم 4 أو 5 (أو كلاهما) في أي مكان.

ثم، سنستخدم القانون الثاني وهو قانون الجمع. إذا كنت تريد حساب عدد الأعداد التي تحتوي على 4 أو 5 (أو كلاهما)، فيجب عليك جمع الأعداد التي تحتوي على 4 وحدها والتي تحتوي على 5 وحدها، ولكن يجب استبعاد الحالات التي تحتوي على 4 و 5 معًا لتجنب الاحتساب المزدوج.

لدينا 27 حالة للرقم 4 و 27 حالة للرقم 5، لذا:

$27 + 27 – \text{(عدد الحالات التي تحتوي على 4 و 5 معًا)}$

سنقوم الآن بحساب عدد الحالات التي تحتوي على 4 و 5 معًا. هنا نستخدم مبدأ الضرب مرة أخرى، حيث لدينا 3 أماكن يمكن أن يظهر فيها الرقم 4 و 3 أماكن يمكن أن يظهر فيها الرقم 5:

$3 \times 3 \times 3 = 81$

نقوم الآن بتعويض هذا العدد في المعادلة الأصلية:

$27 + 27 – 81 = -27$

لكن يجب أن تكون الإجابة غير سالبة، لأنه لا يمكن أن يكون هناك أقل من صفر طرق. لذا، نقوم بجعل الإجابة صفر:

$27 + 27 – 81 = 0$

إذاً، عدد الأعداد التي تحتوي على 4 أو 5 أو كلاهما هو 0.

لذلك، يمكننا أن نختصر الحل كالتالي:

• قمنا بتحويل العدد 343 إلى نظام العد السباعي (1111_7).
• استخدمنا قانون الضرب لحساب عدد الطرق التي يمكن أن يظهر فيها الرقم 4 أو 5 (أو كلاهما) في كل مكان (27).
• استخدمنا قانون الجمع لحساب عدد الأعداد التي تحتوي على 4 أو 5 (أو كلاهما) بشكل عام (27 + 27 – 81 = 0)، مع استبعاد الحالات التي تحتوي على 4 و 5 معًا.

لاحظ أن القوانين المستخدمة هي قوانين الرياضيات الأساسية مثل قوانين الضرب والجمع ومبدأ الضرب في حالة الأعداد المتعددة.