حلول الأعداد: أكبر مشترك وأصغر مضاعف (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ابحث عن حاصل ضرب أكبر مشترك وأصغر مضاعف للأعداد ١٠٠ و ١٢٠.

الحل:
نبدأ بحساب العوامل الأولية لكل من الأعداد ١٠٠ و ١٢٠. لنجد العوامل الأولية للعدد ١٠٠، نستخدم القسمة على الأعداد الأولية ابتداءً من الأصغر ونكمل حتى نحصل على العوامل الأولية:
$100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5$

ثم نقوم بحساب العوامل الأولية للعدد ١٢٠:
$120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$

الآن، نقوم بحساب الأعداد المشتركة والمضاعف الأقل. للحصول على أكبر مشترك، نأخذ أقل عدد ظهر مرتين في أي من العوامل الأولية للعددين، ونضربهما معًا:
$\text{أكبر مشترك} = 2 \times 2 \times 5 = 20$

ثم نقوم بحساب أصغر مضاعف بطرح الأعداد الأولية المشتركة مع الأعداد الفردية التي لم تُكرر. نضرب هذه العوامل معًا:
$\text{أصغر مضاعف} = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 600$

أخيرًا، نقوم بضرب الأكبر مشترك في الأصغر مضاعف:
$\text{الناتج} = \text{أكبر مشترك} \times \text{أصغر مضاعف} = 20 \times 600 = 12000$

إذاً، حاصل ضرب أكبر مشترك وأصغر مضاعف للأعداد ١٠٠ و ١٢٠ هو ١٢٠٠٠.

لحل هذه المسألة، سنتبع عدة خطوات تعتمد على فهم القوانين المتعلقة بأعداد ١٠٠ و ١٢٠. سنقوم بفحص القوانين التي تتعلق بالأعداد الأولية ومفاهيم مثل العوامل الأولية وأكبر مشترك وأصغر مضاعف.

1. حساب العوامل الأولية:
   نبدأ بتحليل كل عدد إلى عوامله الأولية. على سبيل المثال، للعدد ١٠٠:
   $100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5$

   وللعدد ١٢٠:
   $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$

2. العثور على العوامل المشتركة:
   نحدد العوامل المشتركة بين العددين. في هذه الحالة، يتكرر العدد ٢ والعدد ٥. نقوم بتكرار العدد الأصغر الذي ظهر مرتين:
   $\text{أكبر مشترك} = 2 \times 2 \times 5 = 20$

3. حساب الأصغر مضاعف:
   نحسب الأصغر مضاعف بضرب العوامل الأولية التي لم تُكرر في كل من العددين:
   $\text{أصغر مضاعف} = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 600$

4. حساب الناتج:
   نضرب الأكبر مشترك في الأصغر مضاعف:
   $\text{الناتج} = \text{أكبر مشترك} \times \text{أصغر مضاعف} = 20 \times 600 = 12000$

القوانين المستخدمة:

• قانون تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية.
• قانون العثور على العوامل المشتركة بين الأعداد.
• قانون حساب الأصغر مضاعف باستخدام العوامل الأولية.

التوضيح:
في هذا الحل، تم استخدام فهم عن العوامل الأولية والقوانين المتعلقة بالمشترك والمضاعف لحل المسألة. تمثل هذه الخطوات طريقة تحليلية للتفكير حول الأعداد وتحديد الخصائص المشتركة واستخدامها للوصول إلى الإجابة.