حلا لمعادلة لوغاريتمية: العثور على x (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

العثور على قيمة $x$ إذا كان $\log_9(2x-7) = \dfrac{3}{2}$.

الحل:

نستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتم حيث أن $\log_a(b) = c$ تعني أن $a^c = b$.

في هذه المسألة، نعلم أن $\log_9(2x-7) = \dfrac{3}{2}$، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$9^{\frac{3}{2}} = 2x – 7$

لتبسيط الأمور، يمكننا كتابة $9^{\frac{3}{2}}$ بشكل مكمل، حيث $9 = 3^2$:

$(3^2)^{\frac{3}{2}} = 2x – 7$

نستخدم قاعدة الأسس في الضرب لضرب الأسس:

$3^{2 \times \frac{3}{2}} = 2x – 7$

تبسيط الأسس:

$3^3 = 2x – 7$

$27 = 2x – 7$

نضيف $7$ إلى الطرفين:

$34 = 2x$

نقسم على $2$ لحساب قيمة $x$:

$x = \frac{34}{2}$

$x = 17$

إذا كان $\log_9(2x-7) = \dfrac{3}{2}$، فإن قيمة $x$ هي $17$.

بالطبع، سنقوم بفحص تفاصيل الحل بشكل أكبر وسنذكر القوانين المستخدمة في كل خطوة.

المسألة الرياضية تطلب حلاً للمعادلة $\log_9(2x-7) = \frac{3}{2}$.

الخطوة الأولى:

نستخدم قاعدة اللوغاريتم لتحويل المعادلة إلى صيغة أسية. القاعدة هي $\log_a(b) = c$ تعني $a^c = b$.

لذا، نكتب:

$9^{\frac{3}{2}} = 2x – 7$

في هذه الخطوة، قمنا باستخدام قاعدة تحويل اللوغاريتم إلى صيغة أسية.

الخطوة الثانية:

نبسط $9^{\frac{3}{2}}$ باستخدام الخاصية الأساسية للأسس. حيث $9 = 3^2$، يمكننا كتابة:

$(3^2)^{\frac{3}{2}} = 2x – 7$

هنا قمنا بتحويل $9$ إلى أساس $3$.

الخطوة الثالثة:

نستخدم قاعدة الأسس في الضرب لضرب الأسس:

$3^{2 \times \frac{3}{2}} = 2x – 7$

نحسب الأس:

$3^3 = 2x – 7$

هنا استخدمنا قاعدة الأسس في الضرب.

الخطوة الرابعة:

نقوم بتبسيط المعادلة:

$27 = 2x – 7$

الخطوة الخامسة:

نضيف $7$ إلى الطرفين:

$34 = 2x$

في هذه الخطوة، استخدمنا قانون الجمع.

الخطوة السادسة:

نقسم على $2$ لحساب قيمة $x$:

$x = \frac{34}{2}$

هنا قمنا بتقسيم الطرفين على $2$، وهو قانون القسمة.

النتيجة النهائية:

$x = 17$

إجمالًا، في هذا الحل، استخدمنا القوانين التالية:

1. قاعدة تحويل اللوغاريتم إلى صيغة أسية.
2. الخاصية الأساسية للأسس.
3. قاعدة الأسس في الضرب.
4. قانون الجمع.
5. قانون القسمة.