حلا لمعادلة رياضية بمجهول (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة:
\frac{2^1}{4^1 – 1} + \frac{2^2}{4^2 – X + \frac{2^4}{4^4 – 1} + \frac{2^8}{4^8 – 1} + \cdots

إذا كانت القيمة الإجمالية لهذه المعادلة هي 1، نحتاج إلى حساب قيمة المتغير المجهول $X$.

للقيام بذلك، لنقم بتحليل الجزء الثاني من المعادلة:
$\frac{2^2}{4^2 – X + \frac{2^4}{4^4 – 1} + \frac{2^8}{4^8 – 1} + \cdots}$

نراعي أن لدينا سلسلة هندسية في المقام تبدأ من $\frac{2^4}{4^4 – 1}$ وتتابع بنسبة نسبة ثابتة تساوي $\frac{1}{2^4}$ في كل مرة. لحساب مجموع هذه السلسلة، نستخدم الصيغة العامة لمجموع السلاسل الهندسية:
$S = \frac{a}{1 – r}$

حيث $S$ هو المجموع الكلي، $a$ هو العنصر الأول في السلسلة، و $r$ هو نسبة الزيادة. في حالتنا، نعلم أن:
$a = \frac{2^4}{4^4 – 1}$
$r = \frac{1}{2^4}$

نقوم بحساب قيمة $S$ باستخدام الصيغة:
$S = \frac{\frac{2^4}{4^4 – 1}}{1 – \frac{1}{2^4}}$

ثم نقوم بجمع هذا المجموع مع الجزء الأول من المعادلة:
$\frac{2^1}{4^1 – 1} + \frac{2^2}{4^2 – X + S}$

وبمعرفة أن هذا المجموع يساوي 1، نستطيع حل المعادلة النهائية للعثور على قيمة المتغير $X$.

لنقوم بحل المعادلة وحساب قيمة المتغير $X$، نقوم بالخطوات التالية:

1. تحليل الجزء الثاني:
   نقوم بفحص الجزء الثاني من المعادلة:
   $\frac{2^2}{4^2 – X + \frac{2^4}{4^4 – 1} + \frac{2^8}{4^8 – 1} + \cdots}$

2. حساب مجموع السلسلة الهندسية:
   نستخدم الصيغة العامة لمجموع السلاسل الهندسية:
   $S = \frac{a}{1 – r}$
   حيث $a$ هو العنصر الأول في السلسلة و $r$ هو نسبة الزيادة. في حالتنا:
   $a = \frac{2^4}{4^4 – 1}$
   $r = \frac{1}{2^4}$
   ونحسب قيمة $S$.

3. جمع الأجزاء الأولى والثانية:
   نقوم بجمع الجزء الأول من المعادلة:
   $\frac{2^1}{4^1 – 1}$
   مع القيمة المحسوبة للجزء الثاني:
   $\frac{2^2}{4^2 – X + S}$

4. وضع المعادلة بتكاملها:
   بعد الجمع، نضع المعادلة النهائية بتكاملها:
   $\frac{2^1}{4^1 – 1} + \frac{2^2}{4^2 – X + S} = 1$

5. حل المعادلة:
   نقوم بحساب قيمة المتغير $X$ من المعادلة.

لحساب مجموع السلسلة الهندسية وحل المعادلة، تم استخدام القوانين والصيغ الرياضية التالية:

• صيغة مجموع السلاسل الهندسية:
  $S = \frac{a}{1 – r}$

• الجمع والطرح للكسور:
  تم استخدام عمليات الجمع والطرح لتجميع الأجزاء المختلفة في المعادلة.

• وضع المعادلة بتكاملها:
  تم وضع المعادلة بتكاملها بناءً على البيانات المعطاة في المسألة.

• حل المعادلة:
  تم حساب قيمة المتغير $X$ عندما يكون إجمالي المعادلة يساوي 1.

هذه الخطوات والقوانين تساعد في فهم وحل المسألة الرياضية المطروحة.