حلا لمعادلة رباعية بشكل تفصيلي (مسألة رياضيات)

المعادلة $x^2-4x+7=19$ تحتوي على حلاين هما $a$ و $b$، حيث يتم تحديد قيمهما بناءً على الشرط $a\geq b$. نرغب في حساب قيمة التعبير $2a+b$.

لحسن الفهم، سنقوم بحساب الحلول أولاً، ثم سنستخدمها للوصول إلى القيمة المطلوبة.

لحساب الحلول، نقوم بطرح 19 من الجهتين للمعادلة للحصول على المعادلة الرباعية $x^2-4x-12=0$. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام الصيغة العامة لحلا المعادلات الرباعية، والتي تعطي:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث أن المعاملات في المعادلة الحالية هي $a=1$، $b=-4$، و $c=-12$. نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة:

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-12)}}{2(1)}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{2}$

الحلول هي $x_1=6$ و $x_2=-2$.

الآن، بناءً على الشرط $a\geq b$، نجد أن $a=6$ و $b=-2$.

أخيرًا، نقوم بحساب قيمة التعبير المطلوب $2a+b$:

$2a+b = 2(6) + (-2) = 12 – 2 = 10$

إذا كانت القيم المحددة للمتغيرات الحلول للمعادلة الأصلية، يتبين أن قيمة التعبير $2a+b$ تكون 10.

بالطبع، دعونا نستكمل بعض التفاصيل ونشرح الخطوات بشكل أكثر تفصيلاً.

المعادلة الأصلية هي $x^2-4x+7=19$. للبدء في حساب الحلول، نقوم بطرح 19 من الطرفين للحصول على المعادلة الرباعية $x^2-4x-12=0$. في هذه المرحلة، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلات الرباعية:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

في هذه الصيغة، $a$، $b$، و $c$ هما المعاملات في المعادلة الرباعية، وتُعطى الحلول $x_{1,2}$ باستخدام الجذر التربيعي.

في حالتنا، المعاملات هي $a=1$، $b=-4$، و $c=-12$. نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة:

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-12)}}{2(1)}$

هنا، قمنا بتعويض قيم $a$، $b$، و $c$، وقمنا بحساب الجذر التربيعي للتعبير الذي يقع تحت الجذر. هذا الجزء يستند إلى القاعدة التي تقول إذا كانت قيمة التعبير تحت الجذر إيجابية، فإن هناك حلاً حقيقيًا، وإذا كانت سالبة، فإنه لا يوجد حلاً حقيقيًا.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{2}$

هنا نحصل على القيم الممكنة لـ $x$, وهي $x_1=6$ و $x_2=-2$.

الآن، نقوم بتحديد القيم النهائية لـ $a$ و $b$ بناءً على الشرط $a\geq b$. نجد أن $a=6$ و $b=-2$.

أخيرًا، نقوم بحساب القيمة المطلوبة للتعبير $2a+b$:

$2a+b = 2(6) + (-2) = 12 – 2 = 10$

في هذه العملية، استخدمنا العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية، منها:

1. صيغة الجذر التربيعي في حلا المعادلات الرباعية: استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلات الرباعية للعثور على القيم الممكنة لـ $x$.

2. قاعدة تحت الجذر: فحص إشارة التعبير الذي يقع تحت الجذر لتحديد وجود الحلول الحقيقية.

3. تحديد القيم بناءً على الشروط: استنتاج القيم لـ $a$ و $b$ باستخدام الشرط المعطى.

4. العمليات الحسابية الأساسية: عمليات الجمع والضرب للوصول إلى القيمة النهائية للتعبير المطلوب.