مسائل رياضيات

حلا لمعادلة رباعية بالتفصيل (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 20/12/2023
0

إذا كان (m – 8) عاملاً لـ m^2 – hm – 24، فلنقم بكتابة المسألة بطريقة مختصرة ثم نقدم الحل:

المسألة:
إذا كانت (m – 8) عاملاً للتعبير التالي: m^2 – hm – 24، فما قيمة h؟

مواضيع ذات صلة

الحل:
لحساب قيمة h، نقوم بالقسمة الصفرية للتعبير m^2 – hm – 24 على (m – 8)، ونجد الباقي يساوي صفرًا.

مقدمًا المعادلة التي تمثل القسمة الصفرية:

m2−hm−24m−8=0\frac{{m^2 – hm – 24}}{{m – 8}} = 0

نقوم بالقسمة، ونضع الباقي يساوي صفر:

m2−hm−24=(m−8)⋅0m^2 – hm – 24 = (m – 8) \cdot 0

تتحول المعادلة إلى:

m2−hm−24=0m^2 – hm – 24 = 0

الآن، نستخدم طريقة حل المعادلة الخطية للعثور على قيمة h. يمكننا استخدام المنفصلة أو طريقة الإكمال مربعًا، ولكن لنكن متسقين مع السياق الرياضي، سنقوم بحل المعادلة باستخدام الإكمال المربعي.

نكتب المعادلة بشكل قياسي:

m2−hm−24=0m^2 – hm – 24 = 0

نقوم بإكمال المربع على النحو التالي:

(m−h2)2−(h24+24)=0(m – \frac{h}{2})^2 – (\frac{h^2}{4} + 24) = 0

الآن، نضع الجزء الأيمن من المعادلة في صيغة القوة الثنائية:

(m−h2)2=(h24+24)(m – \frac{h}{2})^2 = (\frac{h^2}{4} + 24)

ثم نستخرج الجذرين التربيعيين من الطرفين:

m−h2=±h24+24m – \frac{h}{2} = \pm \sqrt{\frac{h^2}{4} + 24}

نضرب كل جانب في 2 لتخلص من المقام في الجهة اليسرى:

2m−h=±2h2+962m – h = \pm 2\sqrt{h^2 + 96}

نضيف h إلى الجانبين:

2m=h±2h2+962m = h \pm 2\sqrt{h^2 + 96}

نحل المعادلة للعثور على h:

h=2m±2h2+96h = 2m \pm 2\sqrt{h^2 + 96}

الآن، لأننا نعلم أن (m – 8) عامل للتعبير الأصلي، يمكننا استخدام ذلك للعثور على قيمة h. نستبدل m بـ 8 في المعادلة ونحلها:

h=2(8)±2h2+96h = 2(8) \pm 2\sqrt{h^2 + 96}
h=16±2h2+96h = 16 \pm 2\sqrt{h^2 + 96}

نلاحظ أنه يجب على h أن تكون قيمتها موجبة، لذا نختار الجذر الإيجابي:

h=16+2h2+96h = 16 + 2\sqrt{h^2 + 96}

نقلل 16 من الجانب الأيمن:

2h2+96=h−162\sqrt{h^2 + 96} = h – 16

نربع الطرفين:

4(h2+96)=(h−16)24(h^2 + 96) = (h – 16)^2

نفتح الأقواس ونبسط:

4h2+384=h2−32h+2564h^2 + 384 = h^2 – 32h + 256

نجمع الأعضاء المماثلة ونقلب المعادلة إلى صيغتها القياسية:

3h2+32h−128=03h^2 + 32h – 128 = 0

الآن، يمكننا حل هذه المعادلة الرباعية باستخدام الصيغة العامة للجذور. إلا أنها تتطلب حسابات معقدة، ولكن يمكننا استخدام الحاسبة للعثور على قيم محددة لـ h.

المزيد من المعلومات

بالطبع، دعونا نوسع تفاصيل الحل ونذكر القوانين المستخدمة. نحن هنا نتبع عملية الحل بخطوات أكثر تفصيلاً.

المسألة:
إذا كانت (m – 8) عاملاً للتعبير التالي: m2−hm−24m^2 – hm – 24، فما قيمة hh؟

الحل:

  1. البداية:
    نكتب المعادلة المعطاة:
    m2−hm−24=0m^2 – hm – 24 = 0

  2. تكامل المربع الكامل:
    نقوم بتكامل المربع الكامل للتعبير:
    (m−h2)2−(h24+24)=0(m – \frac{h}{2})^2 – (\frac{h^2}{4} + 24) = 0

  3. التحويل:
    نقوم بتحويل العبارة للحصول على m−h2m – \frac{h}{2} في الجهة اليسرى:
    (m−h2)2=(h24+24)(m – \frac{h}{2})^2 = (\frac{h^2}{4} + 24)

  4. استخدام الجذرين التربيعيين:
    نستخدم الجذرين التربيعيين للحصول على m−h2m – \frac{h}{2}:
    m−h2=±h24+24m – \frac{h}{2} = \pm \sqrt{\frac{h^2}{4} + 24}

  5. تبسيط:
    نبسط العبارة:
    2m−h=±2h2+962m – h = \pm 2\sqrt{h^2 + 96}

  6. عزل h:
    نضيف hh إلى الجانبين:
    2m=h±2h2+962m = h \pm 2\sqrt{h^2 + 96}

  7. تبسيط المعادلة:
    نقوم بتبسيط المعادلة للحصول على hh بمفرده:
    h=2m±2h2+96h = 2m \pm 2\sqrt{h^2 + 96}

  8. استخدام العامل المعطى:
    نستخدم الشرط المعطى في المسألة أن (m−8)(m – 8) هو عامل، لذا نستبدل mm بـ 8:
    h=2(8)±2h2+96h = 2(8) \pm 2\sqrt{h^2 + 96}

  9. تحليل العبارة:
    نلاحظ أن hh يجب أن تكون قيمتها موجبة، لذا نختار الجذر الإيجابي:
    h=16+2h2+96h = 16 + 2\sqrt{h^2 + 96}

  10. تبسيط المعادلة النهائية:
    نقوم بتبسيط المعادلة النهائية:
    2h2+96=h−162\sqrt{h^2 + 96} = h – 16

  11. رفع الطرفين للتخلص من الجذر:
    نرفع الطرفين إلى التربيع للتخلص من الجذر:
    4(h2+96)=(h−16)24(h^2 + 96) = (h – 16)^2

  12. تبسيط المعادلة:
    نقوم بتبسيط المعادلة:
    3h2+32h−128=03h^2 + 32h – 128 = 0

  13. حل المعادلة الرباعية:
    نستخدم الصيغة العامة للجذور لحل المعادلة:
    h=−b±b2−4ac2ah = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

    حيث a=3a = 3، b=32b = 32، و c=−128c = -128.

    يمكن استخدام الحاسبة لحساب القيم الدقيقة لـ hh باستخدام هذه الصيغة.

القوانين المستخدمة:

  1. تكامل المربع الكامل: يُستخدم لتحويل تعبير ثنائي الدرجة إلى مربع كامل.
  2. استخدام الجذرين التربيعيين: لحساب الجذرين المربعيين وحل المعادلات.
  3. استخدام العامل: يُستخدم للتحقق من أن تعبير ما يمكن أن يُقسم على وجه الضبط بواسطة عامل آخر.
  4. تحليل العبارة: استخدام المعلومات المعطاة في المسألة لاختيار الجذر الصحيح أو القيمة المنطقية.
  5. حل المعادلة الرباعية: استخدام صيغة الجذر العام لحل معادلة رباعية.

اخر تحديث 20/12/2023
0