حلا لمعادلة خطية بأقل قيمة (مسألة رياضيات)

لنكتب المسألة بشكل مختصر:
إذا كانت $p$ و $q$ عددين صحيحين إيجابيين، حيث يكون كل منهما أكبر من 1، وتنطبق المعادلة $17(p+1) = 21(q+1)$، ما هو أقل قيمة ممكنة للتعبير $p+q$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب القيم الممكنة لـ $p$ و $q$، ثم نجمعهما للحصول على أقل قيمة ممكنة لـ $p+q$.

نبدأ بتبسيط المعادلة:
$17(p+1) = 21(q+1)$

نقوم بفتح الأقواس وتبسيط المعادلة:
$17p + 17 = 21q + 21$

نقوم بتجميع الأعداد المماثلة:
$17p – 21q = 21 – 17$

نقوم بتبسيط المعادلة أكثر:
$17p – 21q = 4$

الآن، نبدأ باختبار القيم الممكنة لـ $p$ و $q$ بحيث تكون القيم صحيحة وتحقق المعادلة. نجرب القيم التي تكون مناسبة للعددين الصحيحين. يمكننا بدء الاختبار باختيار $q = 1$، ثم حساب القيمة المتوقعة لـ $p$، ومن ثم حساب $p+q$.

$17p – 21(1) = 4$

نجد أن $p = 5$ هو قيمة تحقق المعادلة. لذا، إذا كان $q = 1$ و $p = 5$، فإن:
$p+q = 5 + 1 = 6$

إذا كان $p+q = 6$ هو القيمة الصغرى الممكنة.

بالطبع، دعونا نقدم حلاً مفصلًا للمسألة مع ذكر القوانين المستخدمة.

المسألة:
إذا كانت $p$ و $q$ عددين صحيحين إيجابيين، حيث يكون كل منهما أكبر من 1، وتنطبق المعادلة $17(p+1) = 21(q+1)$، ما هو أقل قيمة ممكنة للتعبير $p+q$؟

الحل:
نبدأ بتبسيط المعادلة:
$17(p+1) = 21(q+1)$

نفتح الأقواس:
$17p + 17 = 21q + 21$

نقوم بتجميع الأعداد المماثلة:
$17p – 21q = 21 – 17$

تبسيط المعادلة:
$17p – 21q = 4$

الآن نتطلع إلى حل المعادلة. يبدو أنها معادلة خطية في الأعداد الصحيحة. لحلها، يمكننا استخدام الخوارزمية اللامتناهية للأعداد الصحيحة (Euclidean Algorithm)، وهي أداة قوية في حل مشكلات الأعداد الصحيحة.

باستخدام هذه الخوارزمية، نجد أن أحد الأزواج الذي يحقق المعادلة هو $(p, q) = (5, 1)$. وبالتالي، تكون أقل قيمة ممكنة للتعبير $p+q$ هي:
$p+q = 5+1 = 6$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة التوزيع (Distributive Property): استخدمناها لفتح الأقواس وتبسيط المعادلة.
2. جمع وطرح الأعداد: قمنا بجمع وطرح الأعداد لتجميع الأعداد المماثلة في المعادلة.
3. الخوارزمية اللامتناهية للأعداد الصحيحة (Euclidean Algorithm): استخدمناها للعثور على أحد الأزواج الذي يحقق المعادلة بأقل القيم.