حلا لمعادلة تربيعية بحلا وحيد (مسألة رياضيات)

المعادلة التربيعية $ax^2 + 20x + c = 0$ تمتلك حلاً واحدًا بالضبط. إذا كانت قيم الثوابت تحقق الشرطين $a+c=29$ و $a

الحل:

لنبدأ بالنظر إلى متطلبات المسألة. لدينا المعادلة التربيعية $ax^2 + 20x + c = 0$، ونعلم أنها تمتلك حلاً واحدًا. هذا يعني أن مضاعف الجذر التربيعي للمتغير $x$ في المعادلة هو صفر. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب مضاعف الجذر التربيعي:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث أن المعادلة العامة للمعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$ هي القاعدة العامة.

في حالتنا، يكون $b$ هو معامل $20$، ونعلم أن المعادلة لديها حلاً واحدًا، لذلك المميز (الترميز) تكون مساوية لصفر:

$b^2-4ac = 0$

نستخدم هذا الشرط لحساب قيم $(a,c)$.

$(20)^2 – 4ac = 0$

$400 – 4ac = 0$

الآن، نستخدم المعلومة الإضافية في المسألة، أي $a+c=29$. نستبدل $c$ بـ $(29-a)$:

$400 – 4a(29-a) = 0$

نحل هذه المعادلة للعثور على القيم الممكنة لـ $a$، ثم نستخدمها لحساب $c$. سأقوم بحساب الحلول وتوضيح الخطوات بعمق:

$400 – 4a(29-a) = 0$

$400 – 4(29a – a^2) = 0$

$400 – 116a + 4a^2 = 0$

$4a^2 – 116a + 400 = 0$

الآن، نستخدم العملية الرياضية لحساب الجذرين. نحسب الجذر التربيعي للمعادلة التي نحن بصدد حلها:

$\Delta = b^2 – 4ac$

$= (-116)^2 – 4(4)(400)$

$= 13456 – 6400$

$= 7056$

الآن، نحسب الجذرين:

$a_{1,2} = \frac{116 \pm \sqrt{7056}}{8}$

$= \frac{116 \pm 84}{8}$

لذا، لدينا اثنين من الحلول الممكنة:

$a_1 = \frac{116 + 84}{8} = \frac{200}{8} = 25$

$a_2 = \frac{116 – 84}{8} = \frac{32}{8} = 4$

الآن، نستخدم قيمة $a$ لحساب $c$ باستخدام المعادلة $a+c=29$:

$c_1 = 29 – 25 = 4$

$c_2 = 29 – 4 = 25$

إذاً، لدينا زوجين من القيم $(a,c)$ الذين يحققون الشروط:

$(a_1, c_1) = (25, 4)$

$(a_2, c_2) = (4, 25)$

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم مبدأ الجذر المزدوج للمعادلة التربيعية ونطبق الشروط المعطاة في المسألة.

المعادلة التربيعية التي نعمل عليها هي:

$ax^2 + 20x + c = 0$

ونعلم أن لديها حلاً واحدًا، لذا مميز (الترميز) يكون صفرًا، أي:

$b^2 – 4ac = 0$

حيث $b = 20$ هو معامل الـ $x$.

نستخدم هذا المعلومات لحساب القيم الممكنة لـ $a$ و $c$. القاعدة العامة هي:

$\Delta = b^2 – 4ac$

إذاً:

$20^2 – 4ac = 0$

$400 – 4ac = 0$

$4ac = 400$

$ac = 100$

الآن، نعلم أن $a+c = 29$، لذا يمكننا كتابة $c$ بوظيفة $a$:

$c = 29 – a$

نستخدم هذه القيمة في المعادلة $ac = 100$:

$a(29 – a) = 100$

توسيع العبارة يؤدي إلى:

$29a – a^2 = 100$

المعادلة الناتجة هي:

$a^2 – 29a + 100 = 0$

الآن، نستخدم القاعدة العامة لحساب الجذرين:

$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$a_{1,2} = \frac{29 \pm \sqrt{(-29)^2 – 4(1)(100)}}{2}$

$a_{1,2} = \frac{29 \pm \sqrt{841 – 400}}{2}$

$a_{1,2} = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2}$

$a_{1,2} = \frac{29 \pm 21}{2}$

$a_1 = 25, \quad a_2 = 4$

الآن، نستخدم القيم المحسوبة لـ $a$ لحساب قيمة $c$ باستخدام المعادلة $c = 29 – a$:

$c_1 = 29 – 25 = 4$

$c_2 = 29 – 4 = 25$

إذاً، الأزواج الحلول هي:

$(a_1, c_1) = (25, 4)$

$(a_2, c_2) = (4, 25)$

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. مبدأ الجذر المزدوج: إذا كانت المعادلة التربيعية تمتلك حلاً واحدًا، فإن مميز المعادلة يكون صفرًا.

2. صيغة الجذر التربيعي: يمكن حساب جذرين للمعادلة التربيعية باستخدام صيغة $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$، حيث $\Delta = b^2 – 4ac$.

3. استخدام المعلومات المتاحة: استخدمنا المعلومات المعطاة في المسألة بما في ذلك $a+c=29$ وحققنا الشروط المطلوبة.