حلا لمعادلة تربيعية باستخدام القوانين الرياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

لنكن $p$ و $q$ حلاً للمعادلة التالية:
$(x-5)(2x+9) = x^2-13x+40.$

الحل:

لحل هذه المعادلة، نقوم بفتح القوسين على الجهتين ومن ثم تجميع الأعضاء المتشابهة. لنحسب القيم لـ $p$ و $q$:

\begin{align*}
(x-5)(2x+9) &= x^2-13x+40\
2x^2 + 9x – 10x – 45 &= x^2-13x+40\
2x^2 – x – 45 &= x^2-13x+40\
2x^2 – x – 45 – x^2 + 13x – 40 &= 0\
x^2 + 12x – 85 &= 0
\end{align*}

الآن، نستخدم الصيغة العامة لحلا المعادلة التربيعية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

حيث أن المعادلة الخاصة بنا هي $x^2 + 12x – 85 = 0$، لذا $a=1$، $b=12$، و $c=-85$. نستخدم هذه القيم في الصيغة:

\begin{align*}
x &= \frac{-12 \pm \sqrt{12^2-4(1)(-85)}}{2(1)}\
&= \frac{-12 \pm \sqrt{144+340}}{2}\
&= \frac{-12 \pm \sqrt{484}}{2}\
&= \frac{-12 \pm 22}{2}.
\end{align*}

لذا، لدينا اثنين من الحلول:
\begin{align*}
x_1 &= \frac{-12 + 22}{2} = \frac{10}{2} = 5,\
x_2 &= \frac{-12 – 22}{2} = \frac{-34}{2} = -17.
\end{align*}

إذًا، القيم لـ $p$ و $q$ هي $5$ و $-17$ على التوالي.

الآن، لحساب $(p + 3)(q + 3)$، نقوم بتعويض القيم:
$(p + 3)(q + 3) = (5 + 3)(-17 + 3).$

نحسب هذا التعبير:
$(5 + 3)(-17 + 3) = 8 \times -14 = -112.$

بدايةً، لنستعرض المعادلة التي نريد حلها:
$(x-5)(2x+9) = x^2-13x+40.$

قمنا بفتح القوسين على الجهتين للمعادلة وقمنا بتجميع الأعضاء المتشابهة للوصول إلى المعادلة التربيعية التالية:
$x^2 + 12x – 85 = 0.$

الآن، سنقوم بحساب الجذور باستخدام صيغة الحل العامة للمعادلة التربيعية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

حيث أن:

• $a=1$
• $b=12$
• $c=-85$

نستخدم هذه القيم في الصيغة:
\begin{align*}
x &= \frac{-12 \pm \sqrt{12^2-4(1)(-85)}}{2(1)}\
&= \frac{-12 \pm \sqrt{144+340}}{2}\
&= \frac{-12 \pm \sqrt{484}}{2}\
&= \frac{-12 \pm 22}{2}.
\end{align*}

لذا، نحصل على اثنتين من الحلول:
\begin{align*}
x_1 &= \frac{-12 + 22}{2} = \frac{10}{2} = 5,\
x_2 &= \frac{-12 – 22}{2} = \frac{-34}{2} = -17.
\end{align*}

القوانين المستخدمة:

1. قانون فتح القوسين: استخدمنا قانون فتح القوسين للتعبير عن المعادلة بشكل مناسب للحسابات اللاحقة.

2. قانون التجميع: قمنا بتجميع الأعضاء المتشابهة في المعادلة للتبسيط.

3. صيغة الحل العامة للمعادلة التربيعية: استخدمنا هذه الصيغة لحساب القيم الممكنة لـ $x$.

4. قوانين الجمع والطرح: قمنا بحساب القيم النهائية لـ $x_1$ و $x_2$ باستخدام قوانين الجمع والطرح.

بعد ذلك، قمنا بتعويض قيم $p$ و $q$ في المعادلة الأصلية للتحقق من صحة الحلول.

أخيرًا، قمنا بحساب $(p + 3)(q + 3)$ باستخدام القيم المحسوبة لـ $p$ و $q$، وحصلنا على الناتج $-112$.