حلا لمعادلة القيم المطلقة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما قيمة المتغير $x$ إذا كانت $|x-1| = |x-2|$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا البدء بفحص القيم الممكنة لـ $x$ بناءً على المعادلة المطروحة. نستخدم خاصية القيم المطلقة، حيث إذا كانت $|a| = |b|$، فإنه يمكن أن يكون $a = b$ أو $a = -b$.

لذا، يمكننا إقامة اثنين من المعادلات:

1. $x – 1 = x – 2$
2. $x – 1 = -(x – 2)$

للمعادلة الأولى، نقوم بحساب قيمة $x$ عن طريق تجميع الأعضاء المماثلة وحساب الناتج:

المعادلة $0 = -1$ لا تحقق صحة، لذا لا يمكن أن تكون هذه هي الإجابة. الآن ننتقل إلى المعادلة الثانية:

الآن، نقوم بحساب قيمة $x$ عن طريق قسمة الطرفين:

إذاً، القيمة الصحيحة للمتغير $x$ هي $\frac{3}{2}$.

بالطبع، دعونا نقوم بتفصيل حلا المسألة وذلك باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالقيم المطلقة. المسألة هي:

$|x-1| = |x-2|$

لحل هذه المعادلة، نستخدم خاصية القيم المطلقة ونتبع الخطوات التالية:

1. استخدام الخاصية الأساسية للقيم المطلقة:
   $|a| = |b| \Rightarrow a = b \quad \text{أو} \quad a = -b$

2. إقامة المعادلات:
   نقوم بإقامة معادلتين استنادًا إلى الخاصية المذكورة أعلاه.

   • للحالة الأولى: $x – 1 = x – 2$
   • للحالة الثانية: $x – 1 = -(x – 2)$

3. حل المعادلات:

   الحالة الأولى:
   $x – 1 = x – 2$
   نطرح $x$ من الطرفين:
   $0 = -1$
   هذه المعادلة لا تمتلك حلاً، لذا نستبعد هذه الحالة.

   الحالة الثانية:
   $x – 1 = -(x – 2)$
   نضرب في $-1$ للتخلص من القيمة المطلقة:
   $x – 1 = -x + 2$
   نجمع $x$ من الطرفين:
   $2x = 3$
   نقسم على $2$:
   $x = \frac{3}{2}$

4. التحقق:
   نقوم بالتحقق من القيمة التي حصلنا عليها:
   $|x-1| = \left|\frac{3}{2} – 1\right| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$
   و
   $|x-2| = \left|\frac{3}{2} – 2\right| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$
   يتحقق التساوي، إذاً القيمة $x = \frac{3}{2}$ صحيحة.

القوانين المستخدمة:

1. خاصية القيم المطلقة:
   $|a| = |b| \Rightarrow a = b \quad \text{أو} \quad a = -b$

2. الخواص الحسابية الأساسية:

   • $a – b = -(b – a)$
   • $0 = 0$

3. التعويض:
   نقوم بتجريب القيمة المحسوبة للتحقق من صحتها في المعادلة الأصلية.