حلا لمعادلة السينوس التفاضلية (مسألة رياضيات)

نحن هنا لحل المعادلة الرياضية التي تأخذ الصيغة التالية:

$2\sin^3 x – 5 \sin^2 x + 2 \sin x = 0$

لحل هذه المعادلة، نبدأ بتحويلها إلى معادلة في الشكل القياسي. نقوم بتجميع جميع الأعضاء في الجهة اليسرى من المعادلة وتحويلها إلى صيغة مطوية:

$2\sin^3 x – 5 \sin^2 x + 2 \sin x = 0$

$2\sin x(\sin^2 x – 1) – 5 \sin^2 x + 2 \sin x = 0$

نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة:

$-3\sin^2 x + 4\sin x – 2\sin x(\sin^2 x – 1) = 0$

نقوم بتعويض $\sin x$ بـ $t$ لتبسيط المعادلة:

$-3t^2 + 4t – 2t(t^2 – 1) = 0$

نقوم بتبسيط المعادلة أكثر:

$-3t^2 + 4t – 2t^3 + 2t = 0$

$-2t^3 – 3t^2 + 6t = 0$

نقوم بتحليل المعادلة بعامل مشترك ونجد أن $t = 0$ هو حلاً لها:

$t(t + 1)(2t – 3) = 0$

لكننا لا ننسى أننا قمنا بالتعويض $t = \sin x$، لذا نقوم بإعادة التعويض:

$\sin x (\sin x + 1)(2\sin x – 3) = 0$

الآن، نقوم بحل المعادلة الجديدة. نجد أن الحلول هي:

$\sin x = 0$

أو

$\sin x + 1 = 0$

أو

$2\sin x – 3 = 0$

الحل الأول يؤدي إلى $x = 0$ و $x = \pi$، الحل الثاني يؤدي إلى $x = -\frac{\pi}{2}$، والحل الثالث يؤدي إلى $x = \frac{3\pi}{2}$.

إذاً، المعادلة الأصلية لها أربع حلول في النطاق $0 \le x \le 2\pi$: $x = 0$, $x = \pi$, $x = -\frac{\pi}{2}$, و $x = \frac{3\pi}{2}$.

لنقم بحل المعادلة التفاضلية
$2\sin^3 x – 5 \sin^2 x + 2 \sin x = 0$
في النطاق $0 \le x \le 2\pi$، نتبع الخطوات التالية:

1. تحويل المعادلة إلى صيغة مطوية:
نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة وتحويل المعادلة إلى صيغة مطوية، مما يعطينا
$2\sin x(\sin^2 x – 1) – 5 \sin^2 x + 2 \sin x = 0$

2. تعويض $\sin x = t$:
نقوم بتعويض $\sin x$ بمتغير $t$ لتبسيط المعادلة. هذا يؤدي إلى
$-3t^2 + 4t – 2t(t^2 – 1) = 0$

3. تبسيط المعادلة:
نقوم بتبسيط المعادلة الجديدة للوصول إلى
$-2t^3 – 3t^2 + 6t = 0$

4. حل المعادلة:
نقوم بتحليل المعادلة بعامل مشترك ونجد أن $t = 0$ هو حلاً لها، مما يعني أن $\sin x = 0$. نقوم بفصل المعادلة إلى عوامل للعثور على الحلول الإضافية، ونحصل على
$t(t + 1)(2t – 3) = 0$

5. إعادة التعويض:
نعيد تعويض $t = \sin x$ للعثور على قيم $x$ المرتبطة. هذا يؤدي إلى الحلول:
$\sin x = 0$
$\sin x + 1 = 0$
$2\sin x – 3 = 0$

6. حساب الحلول:
نحسب قيم $x$ المتعلقة بكل من الحلول، مما يؤدي إلى:
$x = 0, \pi$
$x = -\frac{\pi}{2}$
$x = \frac{3\pi}{2}$

قوانين تم استخدامها:

1. قاعدة جمع الأجزاء المتشابهة:
   قمنا بتجميع الأعضاء المتشابهة في المعادلة لتبسيطها.

2. تعويض المتغير:
   قمنا بتعويض $\sin x$ بمتغير $t$ لتبسيط المعادلة.

3. تحليل المعادلة بعامل مشترك:
   نجحنا في تحليل المعادلة بعامل مشترك للعثور على الحلول.

4. قوانين حسابية عامة:
   قمنا بتبسيط المعادلة باستخدام قوانين حسابية عامة مثل قاعدة ضرب الأعداد السالبة.

تمثل هذه الخطوات العامة لحل المعادلة الرياضية والوصول إلى الحلول في النطاق المحدد.