حلا لمعادلة الدالة الجبرية (مسألة رياضيات)

لنكتب المعادلة المعطاة مرة أخرى:
$f(x – y) = f(x) f(y)$
ونعلم أن $f(x) \neq 0$ لكل $x$ حقيقي.

لنبدأ بحل هذه المسألة الرياضية. سنقوم بتحويل الدالة $f(x)$ من المعادلة المعطاة. لذلك، لنقم بتغيير القيمة $x$ و $y$ في المعادلة.

إذا قمنا بوضع $y = 0$، سنحصل على:
$f(x – 0) = f(x) f(0)$
$f(x) = f(x) f(0)$

نعلم أن $f(x)$ غير متساوية للصفر لكل $x$، لذا يجب أن يكون الجزء الثاني من المعادلة مساويا لواحد، أي:
$f(0) = 1$

الآن لنقم بتحويل المعادلة الأساسية مرة أخرى باستخدام هذا النتيجة:
$f(x – y) = f(x) f(y)$

لنضع $x = y$:
$f(x – x) = f(x) f(x)$
$f(0) = f(x)^2$
$1 = f(x)^2$
$f(x) = \pm 1$

الآن نحن بحاجة إلى تحديد علامة $f(x)$. لكن لنتذكر أن الدالة غير متساوية للصفر لكل $x$. لذا، الخيار $f(x) = 0$ لا يمكن أن يكون صحيحا.

بالتالي، يجب أن تكون قيمة $f(x)$ موجبة 1 لكل $x$ حقيقي.

الآن، لنحسب $f(3)$ باستخدام المعادلة الأساسية:
$f(3) = f(2 + 1) = f(2) f(1)$

ولكننا لا نعرف قيمة $f(2)$ بعد. لكن يمكننا استخدام المعادلة للعثور عليها.

$f(2) = f(1 + 1) = f(1) f(1) = f(1)^2$

وبما أننا قد عثرنا على أن $f(1) = 1$ (لأنها لا تستطيع أن تكون -1 بالنظر إلى الشرط $f(x) \neq 0$ لكل $x$ حقيقي)، فإن $f(2) = 1^2 = 1$.

لذا،
$f(3) = f(2) f(1) = 1 \times 1 = 1$

إذاً، قيمة $f(3)$ تساوي 1.

لنقم بتوسيع الحل للمسألة الرياضية المعطاة وذلك باستخدام القوانين الأساسية للدوال والعمليات الحسابية. القوانين المستخدمة تشمل:

1. قانون الأساسيات الحسابية:

   • جمع وطرح الأعداد الحقيقية.
   • ضرب وقسمة الأعداد الحقيقية.

2. الخاصية الأساسية للدوال الرياضية:

   • خاصية الإدخال والإخراج، حيث يمكن إدخال قيم مختلفة للمتغيرات والحصول على قيم مقابلة للدالة.

3. القوانين الأساسية للدوال:

   • قوانين الدوال الأساسية مثل الدوال الجبرية، الدوال اللوغاريتمية، والدوال العددية.

4. قانون الاستبدال والتبديل:

   • القدرة على استبدال القيم في المعادلات الرياضية بقيم معروفة أو متغيرة.

بناءً على هذه القوانين، سنقوم بتحليل المسألة:

المعادلة المعطاة هي:
$f(x – y) = f(x) f(y)$

نريد حساب $f(3)$. لفعل ذلك، سنحاول استخدام المعادلة المعطاة والقوانين الأساسية للدوال.

أولاً، نستنتج من المعادلة المعطاة بوضع $y = 0$ أن $f(0) = 1$ لأن $f(x) \neq 0$ لكل $x$.

ثم، بوضع $x = y$ في المعادلة المعطاة، نحصل على $f(0) = f(x)^2$، ومنها نعرف أن $f(x) = \pm 1$ لكل $x$.

ومنذ $f(x) \neq 0$، فإن القيمة الوحيدة الممكنة هي $f(x) = 1$ لكل $x$ حقيقي.

الآن، نحاول حساب $f(3)$ باستخدام المعادلة المعطاة:
$f(3) = f(2 + 1) = f(2) f(1)$

ولكن لا نعرف قيمة $f(2)$ بعد. ولكن يمكننا استخدام المعادلة مرة أخرى للعثور عليها.

$f(2) = f(1 + 1) = f(1) f(1) = f(1)^2$

وبما أننا قد عثرنا على أن $f(1) = 1$، فإن $f(2) = 1^2 = 1$.

لذا،
$f(3) = f(2) f(1) = 1 \times 1 = 1$

إذاً، قيمة $f(3)$ تساوي 1.