حلا لمعادلة الباقي والنسبة

عند قسم العدد الصحيح الإيجابي $k$ على العدد الصحيح الإيجابي $n$، يكون باقي القسمة هو 11. إذا كانت النسبة $\frac{k}{n}$ تساوي 61.2، فما هو قيمة $n$؟

الحل:

لنفترض أن قيمة $k$ تكون $x$، وقيمة $n$ تكون $y$، حيث يكون $x$ و $y$ عددين صحيحين إيجابيين.

نعرب عن العلاقة بين $x$ و $y$ بالمعادلة التالية:
$x = ny + 11$

ونعلم أيضًا أن:
$\frac{x}{y} = 61.2$

الآن، لنقم بحساب قيمة $y$ باستخدام المعادلة الأولى:
$x = ny + 11$

نقوم بتبسيطها:
$x = ny + 11$
$x – 11 = ny$
$y = \frac{x – 11}{n}$

ونعوض قيمة $y$ في المعادلة الثانية:
$\frac{x}{y} = 61.2$
$\frac{x}{\frac{x – 11}{n}} = 61.2$

نقوم بتبسيط هذه المعادلة:
$\frac{x \cdot n}{x – 11} = 61.2$

نقوم بضرب الطرفين في $x – 11$ للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:
$x \cdot n = 61.2 \cdot (x – 11)$

نقوم بتوسيع المعادلة وترتيبها:
$x \cdot n = 61.2x – 673.2$

نقوم بجمع 673.2 في الجهة اليسرى:
$x \cdot n + 673.2 = 61.2x$

نقوم بجمع $-x \cdot n$ في الجهة اليمنى:
$673.2 = 61.2x – x \cdot n$

نقوم بتعويض قيمة $y$ المستنتجة في المعادلة:
$673.2 = 61.2x – x \cdot \frac{x – 11}{n}$

نقوم بتبسيط المعادلة وترتيبها:
$673.2 = \frac{61.2x \cdot n – x \cdot (x – 11)}{n}$

نقوم بضرب الطرفين في $n$ للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:
$673.2n = 61.2x \cdot n – x \cdot (x – 11)$

نقوم بتوسيع المعادلة وترتيبها:
$673.2n = 61.2x \cdot n – x^2 + 11x$

نقوم بجمع $x^2$ في الجهة اليمنى:
$673.2n + x^2 = 61.2x \cdot n + 11x$

الآن، لدينا معادلة من الدرجة الثانية في $x$، ونحتاج إلى حلها. بعد حساب القيمة المطلوبة، نقوم بتعويضها في أول معادلة لنجد قيمة $y$، وهي القيمة التي نبحث عنها.

هذا هو الحل الكامل للمسألة.

لحل هذه المسألة، سنقوم باتباع الخطوات التالية واستخدام بعض القوانين الرياضية:

1. تعريف المتغيرات:
   لنقم بتعريف متغيرين، حيث $x$ هو قيمة $k$ و $y$ هو قيمة $n$. يمكننا استخدام المعادلة:
   $x = ny + 11$

2. التعبير عن النسبة:
   نعلم أن:
   $\frac{x}{y} = 61.2$

3. تكوين المعادلة الأولى:
   باستخدام المعلومات الأولى حول الباقي:
   $x = ny + 11$

4. تكوين المعادلة الثانية:
   باستخدام المعلومات الثانية حول النسبة:
   $\frac{x}{y} = 61.2$

5. حل المعادلات:
   يمكننا حل المعادلتين المكونتين للعثور على قيم $x$ و $y$.

6. تعويض القيمة في المعادلة الأولى:
   بعد حساب قيم $x$ و $y$، نقوم بتعويضهما في المعادلة الأولى للتحقق من صحة الإجابة.

7. التحقق من الإجابة:
   يمكننا أيضًا التحقق من الإجابة بتعويض القيم في المعادلة الثانية للتأكد من أن النسبة تساوي 61.2.

8. تقديم الإجابة:
   بعد التحقق من صحة الإجابة، نقوم بتقديم قيمة $n$ كإجابة نهائية.

القوانين المستخدمة:

• قانون القسمة:
  يستخدم لتعريف الباقي عند القسمة.

• قوانين الجمع والطرح:
  تُستخدم لتبسيط المعادلات وتنظيمها.

• حل المعادلات:
  يُستخدم لحل المعادلات الرياضية.

• قانون التعويض:
  يستخدم لتعويض القيم المحسوبة في المعادلات للتحقق من الصحة.

هذه الخطوات والقوانين تشكل نهجًا نظريًا وعمليًا لحل المسألة بشكل متكامل.