حلا لمعادلة الأس العالية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: إذا كانت المعادلة $x^{2017} – 2x + 1 = 0$ صحيحة، حيث $x \neq 1$، فما هو قيمة التعبير $x^{2016} + x^{2015} + \dots + x + 1$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام خاصية الجمع لمتتاليات حسابية. نعلم أن المعادلة $x^{2017} – 2x + 1 = 0$ صحيحة، ولذا يمكننا كتابةها بصورة معادلة ثنائية الدرجة:

$(x-1)^{2017} = 0$

من هذه المعادلة، نجد أن $x = 1$ هو الحلا للمعادلة الأصلية. ولكن وفقًا للشروط المعطاة في المسألة، يجب أن يكون $x \neq 1$.

لذا، يمكننا أن نقسم المعادلة الأصلية على $(x-1)$ لنحصل على معادلة ثنائية الدرجة بدون العامل $(x-1)$:

$x^{2016} + x^{2015} + \dots + x + 1 = 0$

التعبير الذي نريد حساب قيمته هو ببساطة المجموع $x^{2016} + x^{2015} + \dots + x + 1$، والذي يكون أيضًا مجموع معاملات المعادلة الجديدة الناتجة عن قسمة المعادلة الأصلية على $(x-1)$.

ونظرًا لأن العامل $(x-1)$ يظهر في المعادلة بشكل متكرر، يكون المعامل الذي يتم جمعه في التعبير هو صفر. لذا، قيمة التعبير المطلوبة هي صفر.

باختصار، إذا كانت المعادلة $x^{2017} – 2x + 1 = 0$ صحيحة و $x \neq 1$، فإن قيمة التعبير $x^{2016} + x^{2015} + \dots + x + 1$ تكون صفر.

لحل المسألة، سنقوم بفحص المعادلة الأصلية $x^{2017} – 2x + 1 = 0$ واستخدام بعض القوانين الجبرية لتبسيط التعبير المطلوب $x^{2016} + x^{2015} + \dots + x + 1$.

المعادلة الأصلية هي:
$x^{2017} – 2x + 1 = 0$

ونعلم أنها تمثل معادلة ثنائية الدرجة، ولكن يمكننا تبسيطها باستخدام القوانين التالية:

1. قاعدة أس الأرقام الطبيعية:
   $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$

2. فحص الجذر:
   $(a-b)^n = a^n – \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 – \dots + (-1)^n b^n$

3. القاعدة السلبية للأس:
   $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

باستخدام هذه القوانين، يمكننا تبسيط المعادلة:
$(x-1)^{2017} = 0$

ومن هنا، نجد أن الجذر الوحيد للمعادلة هو $x = 1$، ولكن نتذكر شرط المسألة الذي يفرض $x \neq 1$. لذا، نقوم بقسم المعادلة على $(x-1)$ للحصول على معادلة جديدة:

$x^{2016} + x^{2015} + \dots + x + 1 = 0$

وهذه هي المعادلة التي تمثل التعبير الذي نريد حساب قيمته. ومن خلال القوانين المستخدمة، ندرك أن هذا التعبير يمثل جمع معاملات متتالية في توسيع فحص الجذر.

لكن نرى أن لدينا عاملًا مشتركًا في جميع المعاملات، وهو $(x-1)$، وبما أن $x \neq 1$، فإن هذا العامل يساوي صفر. لذا، قيمة التعبير هي صفر.

بهذا الشكل، تم استخدام القوانين الجبرية المذكورة لتبسيط المعادلة والوصول إلى الإجابة بشكل دقيق.