حلا لمعادلة أسس الأعداد (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: إذا كانت $64^5 = 32^x$، فما هو قيمة $2^{-x}$ عند التعبير عنها ككسر عشري؟

لحل هذه المسألة، يمكننا البدء بتوحيد الأساس في المعادلة. يعلم المربع أن $64$ يمكن أن يُكتب كـ $2^6$، وأيضًا $32$ يمكن أن يُكتب كـ $2^5$. لذلك، يمكننا إعادة كتابة المعادلة بالشكل التالي:

$(2^6)^5 = (2^5)^x$

وهذا يُبسط إلى:

$2^{30} = 2^{5x}$

الآن، نستطيع مقارنة الأسس، حيث يجب أن تكون الأساسات متساوية لكون المتساوين صحيحين. لذلك:

$30 = 5x$

بقسمة الطرفين على $5$، نحصل على قيمة $x$، وهي:

$x = 6$

الآن، نعود إلى الجزء الثاني من المسألة الذي يطلب تعبير $2^{-x}$ عند التعبير عنه ككسر. يُعلم أن $2^{-x}$ يمكن أن يُكتب على النحو التالي:

$2^{-x} = \frac{1}{2^x}$

وبتعويض قيمة $x$ التي حصلنا عليها:

$2^{-6} = \frac{1}{2^6}$

وهذا يُبسط إلى:

$2^{-6} = \frac{1}{64}$

لذلك، إذا كانت قيمة $2^{-x}$ معرفة ككسر، فإن قيمتها تكون $\frac{1}{64}$.

لحل المسألة، دعونا نستعرض الخطوات بتفصيل أكثر ونشرح القوانين والخصائص التي تم استخدامها في الحل:

المعادلة الأصلية هي:

$64^5 = 32^x$

1. توحيد الأساس:
   نستخدم خاصية التوحيد للأساسات، حيث يُعبّر $64$ عنه بواسطة الأساس $2$ بحيث $64 = 2^6$، وكذلك $32 = 2^5$، لتصبح المعادلة:

   $(2^6)^5 = (2^5)^x$

   الأمر الذي يُبسط إلى:

   $2^{30} = 2^{5x}$

2. مقارنة الأسس:
   يجب أن تكون الأساسات متساوية، لذلك نقارن الأساسات:

   $30 = 5x$

   ونقوم بقسمة الطرفين على $5$ للحصول على قيمة $x$، التي تكون:

   $x = 6$

3. تعبير $2^{-x}$ ككسر:
   نعلم أن $2^{-x}$ يُعبر عنه ككسر على النحو التالي:

   $2^{-x} = \frac{1}{2^x}$

   وبتعويض قيمة $x$ التي حصلنا عليها:

   $2^{-6} = \frac{1}{2^6}$

4. تبسيط الكسر:
   نُبسط الكسر إلى أبسط صورة، حيث $2^6$ يُبسط إلى $64$، لتكون القيمة النهائية:

   $2^{-6} = \frac{1}{64}$

قوانين وخصائص الحساب المستخدمة:

• قانون توحيد الأساسات: $(a^m)^n = a^{mn}$
• مقارنة الأسس: إذا كانت $a^m = a^n$، فإن $m = n$
• تعبير $a^{-x}$ ككسر: $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

تم استخدام هذه القوانين بشكل متسلسل للوصول إلى الحل النهائي للمسألة.