حلا لمعادلات رياضية معقدة بالجبر

لنقم بإعادة صياغة المعادلات الرياضية المعطاة ومن ثم حل المسألة:

المعادلات المعطاة:

1. $3a – 3b – 2c = 32$
2. $\sqrt{3a} – \sqrt{2b + 2c} = 4$

لحل المعادلات، يمكننا استخدام الطرق الرياضية المختلفة. دعونا نبدأ بحساب قيمة $a$ من المعادلة الأولى:

$3a – 3b – 2c = 32$

نقوم بجمع $3b$ و $2c$ من الطرفين الأيمن:

$3a = 32 + 3b + 2c$

ثم نقوم بتقسيم كل جانب على 3:

$a = \frac{32 + 3b + 2c}{3}$

الآن، لنستخدم هذه القيمة المحسوبة لـ $a$ في المعادلة الثانية:

$\sqrt{3a} – \sqrt{2b + 2c} = 4$

نستبدل قيمة $a$:

$\sqrt{3\left(\frac{32 + 3b + 2c}{3}\right)} – \sqrt{2b + 2c} = 4$

نقوم بتبسيط الجذر الأول:

$\sqrt{32 + 3b + 2c} – \sqrt{2b + 2c} = 4$

نقوم بجمع $\sqrt{2b + 2c}$ إلى الطرف الآخر:

$\sqrt{32 + 3b + 2c} = 4 + \sqrt{2b + 2c}$

ثم نقوم برفع الطرفين إلى التربيع:

$32 + 3b + 2c = 16 + 8\sqrt{2b + 2c} + 2b + 2c$

نقوم بترتيب الأعضاء:

$16 = 8\sqrt{2b + 2c} + b$

ثم نقوم بطرح 16 وتقسيم على 8:

$2 = \sqrt{2b + 2c} + b$

نربع الطرفين:

$4 = 2b + 2c + b^2$

ثم نقوم بتجميع المصطلحات المشابهة:

$b^2 + 3b + 2c – 4 = 0$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة الثانوية للحصول على قيمة $b$، ثم نستخدمها لحساب قيمة $a$ وفي النهاية نجمع قيم $a$ و $b$ و $c$ للحصول على الإجابة النهائية.

لحل هذه المسألة، سنقوم بمراحل عدة باستخدام القوانين الرياضية والجبر. دعونا نبدأ بإعادة كتابة المعادلات ومن ثم حلها:

المعادلات المعطاة:

1. $3a – 3b – 2c = 32$
2. $\sqrt{3a} – \sqrt{2b + 2c} = 4$

حل المعادلة الأولى:

نقوم بجمع $3b$ و $2c$ من الطرفين الأيمن للمعادلة الأولى:

$3a = 32 + 3b + 2c$

ثم نقوم بتقسيم كل جانب على 3 للحصول على قيمة $a$:

$a = \frac{32 + 3b + 2c}{3}$

حل المعادلة الثانية:

نستخدم القيمة المحسوبة لـ $a$ في المعادلة الثانية:

$\sqrt{3a} – \sqrt{2b + 2c} = 4$

نستبدل قيمة $a$:

$\sqrt{32 + 3b + 2c} – \sqrt{2b + 2c} = 4$

نقوم بجمع $\sqrt{2b + 2c}$ إلى الطرف الآخر:

$\sqrt{32 + 3b + 2c} = 4 + \sqrt{2b + 2c}$

نرفع الطرفين إلى التربيع:

$32 + 3b + 2c = 16 + 8\sqrt{2b + 2c} + 2b + 2c$

نقوم بترتيب الأعضاء:

$16 = 8\sqrt{2b + 2c} + b$

نطرح 16 ونقسم على 8:

$2 = \sqrt{2b + 2c} + b$

نرفع الطرفين إلى التربيع:

$4 = 2b + 2c + b^2$

نقوم بتجميع المصطلحات المشابهة:

$b^2 + 3b + 2c – 4 = 0$

حل المعادلة الثانية (تفصيل إضافي):

لحل المعادلة الثانية، يمكن استخدام القاعدة العامة لحساب جذر المعادلة الثانوية:

$b^2 + 3b + 2c – 4 = 0$

نستخدم الصيغة العامة: $b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:

• $a = 1$
• $b = 3$
• $c = 2c – 4$

نستخدم هذه القيم في الصيغة:

$b = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4(1)(2c – 4)}}{2(1)}$

بعد حساب الجذر، سنحصل على قيمتين لـ $b$، ومن ثم نستخدم هاتين القيمتين لحساب القيم الأخرى.

جمع القيم:

بعد حساب القيم لـ $a$ و $b$، يمكننا استخدامهما لحساب $c$ وبالتالي الحصول على قيمة $a + b + c$.

القوانين المستخدمة:

1. خصائص الجذور العددية: استخدمنا الخصائص المعروفة للجذور العددية في تبسيط وحل المعادلات.
2. قاعدة التربيع: استخدمنا قاعدة التربيع في رفع الطرفين إلى التربيع للتخلص من الجذور.
3. قوانين حساب الجذور: استخدمنا قوانين حساب الجذور لتبسيط المعادلات.
4. صيغة الجذر للمعادلة الثانوية: استخدمنا صيغة حساب الجذر لحل المعادلة الثانوية.