حلا لمعادلات دوال مركبة (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ حيث $abcd \neq 0$ و $f(f(x)) = x$ لكل $x$ في مجال تعريف $f$. ما هو قيمة $a+d$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب $f(f(x))$. نستخدم الدالة $f$ في نفسها:

$f(f(x)) = f\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)$

نستخدم القاعدة الأساسية للدوال، حيث إذا كانت $g(x) = f(f(x))$، فإنها تكون مكونة من دالة $f$ في داخل دالة $f$، وبالتالي يمكننا استبدال $f(x)$ بالتعبير الذي يمثله:

$g(x) = f\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right) = \frac{a\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right) + b}{c\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right) + d}$

الآن، نبسط هذا التعبير:

$g(x) = \frac{\frac{a(ax+b)}{cx+d} + b}{\frac{c(ax+b)}{cx+d} + d}$

نقوم بضرب البسط والمقام في $cx+d$ لتبسيط التعبير:

$g(x) = \frac{a(ax+b) + b(cx+d)}{c(ax+b) + d(cx+d)}$

الآن، نقوم بتبسيط البسط والمقام:

$g(x) = \frac{a^2x + ab + bcx + bd}{acx + bc + dcx + d^2}$

نجمع الأعضاء المتشابهة:

$g(x) = \frac{a^2x + bcx + ab + bd}{acx + dcx + bc + d^2}$

نجمع الأعضاء المتشابهة:

$g(x) = \frac{(a^2 + bc)x + (ab + bd)}{(ac + dc)x + (bc + d^2)}$

الآن، نعلم من الشرط $g(x) = x$ أن:

$(a^2 + bc)x + (ab + bd) = x(ac + dc)x + (bc + d^2)$

نقارن بين المعاملات المماثلة للمتغير $x$:

$a^2 + bc = ac + dc$
$ab + bd = bc + d^2$

نقوم بترتيب المعادلتين:

$a^2 – ac + bc – dc = 0$
$ab – bc + bd – d^2 = 0$

نقوم بعملية الجمع بين المعادلتين للتخلص من المتغير $d$:

$a^2 – ac + ab – d^2 = 0$

نجمع المصفوفات:

$a^2 + ab – ac – d^2 = 0$

نقوم بتجميع المصفوفات بناءً على المتغيرات:

$(a+d)(a-b) = 0$

من هنا، يمكننا أن نستنتج أن إما $a+d = 0$ أو $a-b = 0$، ولكن من الشرط الأول $abcd \neq 0$ نعلم أن $a+d \neq 0$، لذا يجب أن يكون $a-b = 0$.

بالتالي، نستنتج أن $a = b$، ونستخدم هذا النتيجة للعثور على قيمة $a+d$:

$a+d = a+a = 2a$

إذاً، قيمة $a+d$ تكون مضاعف قيمة $a$، وهذه هي الإجابة النهائية.

بالطبع، سنقوم الآن بتقديم تفاصيل أكثر لحل المسألة وسنُذكر القوانين والخطوات التي تم استخدامها في هذا الحل.

القوانين والخطوات المستخدمة:

1. تعريف الدالة $f(x)$:
   يتم تعريف الدالة $f(x)$ على النحو التالي:
   $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}, \quad abcd \neq 0$

2. حساب $f(f(x))$:
   نقوم بحساب $f(f(x))$ باستخدام الدالة في نفسها:
   $f(f(x)) = \frac{a\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right) + b}{c\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right) + d}$

3. تبسيط $f(f(x))$:
   نقوم بتبسيط التعبير للحصول على صيغة بسيطة لـ $f(f(x))$:
   $g(x) = \frac{(a^2 + bc)x + (ab + bd)}{(ac + dc)x + (bc + d^2)}$

4. إعادة صياغة المعادلات:
   نستخدم الشرط $g(x) = x$ لصياغة المعادلات التي تربط بين المعاملات:
   $a^2 + bc = ac + dc$
   $ab + bd = bc + d^2$

5. ترتيب وجمع المعادلات:
   نقوم بترتيب وجمع المعادلات للتخلص من المتغير $d$:
   $a^2 – ac + bc – dc = 0$

6. التعبير النهائي:
   بعد العمليات السابقة، نصل إلى التعبير النهائي:
   $(a+d)(a-b) = 0$

7. الاستنتاج:
   نستنتج أن $a+d \neq 0$ بسبب شرط $abcd \neq 0$، وبالتالي يجب أن يكون $a-b = 0$، مما يؤدي إلى $a = b$، ونستخدم ذلك للعثور على قيمة $a+d$:
   $a+d = a+a = 2a$

بهذا الشكل، تم توضيح الخطوات والقوانين التي تم استخدامها في حل المسألة. يجدر بالذكر أن هذا الحل يعتمد على فهم قوانين الدوال والجبر، بما في ذلك قاعدة الدوال المركبة وقوانين جمع المعادلات وتبسيط التعابير.