حلا لمعادلات ثنائية باستخدام هويات المثلثات (مسألة رياضيات)

لنقم بإعادة صياغة المعادلات الرياضية وحل المسألة:

المعادلات المعطاة هي:
\begin{align*}
3 \sin^2 a + X \sin^2 b &= 1, \
3 \sin 2a – 2 \sin 2b &= 0.
\end{align*}

لنقم بحل هذه المعادلات بشكل تفصيلي. نبدأ بالمعادلة الأولى:

\begin{align*}
3 \sin^2 a + X \sin^2 b &= 1.
\end{align*}

نعلم أن $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$، لذا يمكننا كتابة $\sin^2 a$ بدلاً من $1 – \cos^2 a$. نقوم بتعويض ذلك في المعادلة:

\begin{align*}
3(1 – \cos^2 a) + X \sin^2 b &= 1 \
3 – 3\cos^2 a + X \sin^2 b &= 1.
\end{align*}

نقوم بترتيب المعادلة:

\begin{align*}
X \sin^2 b &= 3\cos^2 a – 2.
\end{align*}

الآن، نتناول المعادلة الثانية:

\begin{align*}
3 \sin 2a – 2 \sin 2b &= 0.
\end{align*}

نعلم أن $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ و $\sin 2b = 2 \sin b \cos b$. نقوم بتعويض هذه القيم في المعادلة:

\begin{align*}
3(2 \sin a \cos a) – 2(2 \sin b \cos b) &= 0 \
6 \sin a \cos a – 4 \sin b \cos b &= 0.
\end{align*}

نقوم بتبسيط المعادلة:

\begin{align*}
2(3 \sin a \cos a – 2 \sin b \cos b) &= 0.
\end{align*}

الآن، نستخدم المعادلة الثانية التي حصلنا عليها:

\begin{align*}
2(3 \sin a \cos a – 2 \sin b \cos b) &= 2(0) \
3 \sin a \cos a – 2 \sin b \cos b &= 0.
\end{align*}

نقوم بحل هذه المعادلة من خلال تجزئة الأجزاء:

\begin{align*}
\sin a \cos a &= \frac{2}{3} \sin b \cos b.
\end{align*}

نستخدم الهويات المثلثية لتعويض قيم $\sin a$ و $\cos a$:

\begin{align*}
\frac{2}{3} \left(\frac{\sin a}{\cos a}\right) &= \frac{2}{3} \tan a = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin b}{\cos b}.
\end{align*}

نقوم بإلغاء الكسور:

\begin{align*}
\sin b &= \tan a \cos b.
\end{align*}

نستخدم هذه العلاقة في المعادلة الأولى التي حصلنا عليها:

\begin{align*}
X \sin^2 b &= 3\cos^2 a – 2 \
X (\tan^2 a \cos^2 b) &= 3(1 – \sin^2 a) – 2 \
X (\tan^2 a \cos^2 b) &= 1 – 3\sin^2 a.
\end{align*}

نقوم بتبسيط المعادلة:

\begin{align*}
X \tan^2 a \cos^2 b &= -2\sin^2 a.
\end{align*}

الآن، نقوم بتعويض القيمة المتحصل عليها لـ $\sin^2 a$ من المعادلة الأولى:

\begin{align*}
X \tan^2 a \cos^2 b &= -2(3\cos^2 a – 2) \
X \tan^2 a \cos^2 b &= -6\cos^2 a + 4.
\end{align*}

نستخدم الهويات المثلثية لتعويض $\tan^2 a$ بقيمة $\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$:

\begin{align*}
X \left(\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right) \cos^2 b &= -6\cos^2 a + 4 \
X \sin^2 a \cos^2 b &= -6\cos^2 a + 4.
\end{align*}

نستخدم العلاقة التي حصلنا عليها في المعادلة الثانية:

\begin{align*}
X \sin^2 b &= 3\cos^2 a – 2 \
X (\tan a \cos b)^2 &= 3(1 – \sin^2 a) – 2 \
X (\tan^2 a \cos^2 b) &= 1 – 3\sin^2 a.
\end{align*}

نقوم بتبسيط المعادلة:

\begin{align*}
X \tan^2 a \cos^2 b &= -2\sin^2 a.
\end{align*}

الآن، نقوم بتعويض القيمة المتحصل عليها لـ $\sin^2 a$ من المعادلة الأولى:

\begin{align*}
X \tan^2 a \cos^2 b &= -2(3\cos^2 a – 2) \
X \tan^2 a \cos^2 b &= -6\cos^2 a + 4.
\end{align*}

نستخدم الهويات المثلثية لتعو

المزيد من المعلومات