حلا لمعادلات الخطوط المتعامدة (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد قيمة المتغير $a$ بحيث تكون الخطوط المحددة بالمعادلتين التاليتين:
$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
و
$\begin{pmatrix} 1 \\ -3/2 \\ -5 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 3/2 \\ 2 \end{pmatrix}$
متعامدة.

لحل هذه المسألة، نستخدم خاصية الاعتدال بين الخطوط المتعامدة، حيث يكون حاصل ضرب اتجاه الأول (المتجه الذي يتضمن $t$) واتجاه الثاني (المتجه الذي يتضمن $u$) يساوي الصفر. يعني ذلك:

$\begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3/2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0$

نقوم بحساب هذا الضرب النقطي:

$a \cdot 1 + (-2) \cdot (3/2) + 1 \cdot 2 = 0$

بحل المعادلة التي نتجت عن هذا الضرب، نجد قيمة $a$:

$a – 3 + 2 = 0$

$a = 1$

إذًا، قيمة المتغير $a$ التي تجعل الخطوط المحددة بالمعادلتين متعامدة هي $a = 1$.

لحل هذه المسألة، نستخدم قاعدة أساسية في الجبر الخطي، وهي خاصية الاعتدال بين المتجهين المتعامدين. إذا كانت الخطوط متعامدة، فإن حاصل ضرب الاتجاهين لهما يكون يساوي الصفر.

المعادلة التي تمثل هذه الفكرة هي:
$\text{اتجاه الخط الأول} \cdot \text{اتجاه الخط الثاني} = 0$

الخط الأول يمثله المتجه $\begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ والخط الثاني يمثله المتجه $\begin{pmatrix} 1 \\ 3/2 \\ 2 \end{pmatrix}$. لذا، نحسب حاصل الضرب النقطي بينهما:

$\begin{pmatrix} a \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3/2 \\ 2 \end{pmatrix} = a \cdot 1 + (-2) \cdot (3/2) + 1 \cdot 2$

ونحاول إيجاد قيمة لـ $a$ تجعل هذا الضرب يساوي صفر.

بحل المعادلة الناتجة عن الضرب النقطي، نجد قيمة $a$:

$a – 3 + 2 = 0$

$a = 1$

إذًا، القيمة التي تجعل الخطوط متعامدة هي $a = 1$.

القانون المستخدم هو خاصية الاعتدال بين المتجهين المتعامدين، والتي تقول إن حاصل ضرب اتجاهين متعامدين يكون يساوي الصفر.