حلا لمعادلات الجبر الثنائية المتشابهة (مسألة رياضيات)

إذا كان $(x+y+z)(xy+xz+yz)=18$ و $x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=6$ لأعداد حقيقية $x$، $y$، و$z$، فما هو قيمة $xyz$؟

الحل:
لنبدأ بحساب قيمة التعبير الأول:
$(x+y+z)(xy+xz+yz) = 18$
في البداية، يمكننا توسيع المعادلة باستخدام الضرب الجبري:
$xy^2 + xz^2 + y^2x + yz^2 + zx^2 + zy^2 + x^2y + xz^2 + y^2z + yx^2 + z^2x + zy^2 = 18$
ثم نجمع الأعضاء المتشابهة:
$2(xy^2 + xz^2 + y^2x + yz^2 + zx^2 + zy^2 + x^2y + xz^2 + y^2z + yx^2 + z^2x + zy^2) = 18$
نقوم بتبسيطها:
$2(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) = 18$
نقسم الطرفين على 2:
$x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 = 9$

الآن، لنحسب قيمة التعبير الثاني:
$x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = 6$
نستخدم نفس الفكرة ونوسع المعادلة:
$x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y = 6$

الآن، نجمع بين النتائجين:
$x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 = 9$
$x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y = 6$

نطرح المعادلتين:
$(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) – (x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y) = 9 – 6$
تبسيط المعادلة:
$x^2z + yz^2 – z^2x = 3$
نستخدم هذه المعادلة لحساب قيمة $xyz$:
$xyz(x – z + y) = 3$
نقسم الطرفين على $(x – z + y)$:
$xyz = \frac{3}{x – z + y}$

إذاً، قيمة $xyz$ هي $\frac{3}{x – z + y}$.

بالطبع، سأقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام بعض القوانين والخطوات الجبرية.

المعادلات المعطاة هي:
$(x+y+z)(xy+xz+yz) = 18$
$x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = 6$

لنقم بتوسيع المعادلة الأولى باستخدام الضرب الجبري:
$xy^2 + xz^2 + y^2x + yz^2 + zx^2 + zy^2 + x^2y + xz^2 + y^2z + yx^2 + z^2x + zy^2 = 18$

ثم نجمع الأعضاء المتشابهة:
$2(xy^2 + xz^2 + y^2x + yz^2 + zx^2 + zy^2 + x^2y + xz^2 + y^2z + yx^2 + z^2x + zy^2) = 18$

تبسيطها:
$2(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) = 18$

نقسم الطرفين على 2:
$x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 = 9$

ثم نقوم بتوسيع المعادلة الثانية:
$x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = 6$

ونجمع الأعضاء المتشابهة:
$x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y = 6$

نطرح المعادلتين:
$(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) – (x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y) = 9 – 6$

تبسيط المعادلة:
$x^2z + yz^2 – z^2x = 3$

في هذه النقطة، نستخدم القاعدة التي تقول إذا كانت $a + b = c$ و $d + e = c$، فإن $a – d = e – b$. تطبيقًا على المعادلة:
$x^2z + yz^2 – z^2x = 3$

نجد:
$xyz(x – z + y) = 3$

وبالتالي:
$xyz = \frac{3}{x – z + y}$

القوانين المستخدمة:

1. خاصية الضرب الجبري: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
2. التجميع والتبديل: يمكن ترتيب الأعداد وجمع الأعضاء المتشابهة.
3. القاعدة الجبرية للتبديل في المعادلات: إذا كانت $a + b = c$ و $d + e = c$، فإن $a – d = e – b$.

هذه الخطوات تظهر كيف استخدمنا القوانين الجبرية الأساسية لتوسيع وتبسيط المعادلات والتلاعب بها للوصول إلى الحل النهائي.