نُعيد كتابة المسألة الرياضية باللغة العربية:
لنقم بحساب الزوج المرتب من الأعداد الصحيحة الإيجابية $(x،y)$ حيث
\begin{align*}
x^y + 1 &= y^x,\
2x^y &= y^x + 7.
\end{align*}
الحل:
لنبدأ بحل المعادلة الأولى $x^y + 1 = y^x$. إذاً، لدينا $x^y = y^x – 1$. من الواضح أن هناك حلاً عندما يكون $x = y$، حيث تصبح المعادلة $x^x = x^x – 1 + 1$ صحيحة.
الآن، دعونا نفكر في الحالة الأخرى. لنفترض أن $x \neq y$. بما أن $x \neq y$، يمكننا أن نقسم على الطرفين في المعادلة بـ $(y-1)$ للحصول على:
الأن، دعونا ننظر في المعادلة الثانية $2x^y = y^x + 7$. يمكننا أن نلاحظ أن الطرف الأيمن هو زوجي، بينما الطرف الأيسر هو فردي. هذا يعني أنه يجب أن يكون $x$ زوجي و $y$ فردي.
لنقم بفرض $x = 2k$ حيث $k$ عدد صحيح. الآن نعود إلى المعادلة الأولى $x^y + 1 = y^x$. بوجود $x = 2k$، نحصل على:
لنرى أن اليسار هو عبارة عن عدد زوجي مضاف إلى واحد، أي فردي، بينما اليمين هو قوة عدد فردي (لأن $y$ فردي). هذا تناقض، لذا الحالة الثانية ليست ممكنة.
بالتالي، الحل الوحيد للمسألة هو عندما $x = y$ ويكون الزوج المرتب $(x،y)$ هو $(k،k)$ لأي عدد صحيح $k$.
المزيد من المعلومات
لنقوم بتوضيح أكثر لحل المسألة واستخدام القوانين المنطقية والرياضية في هذا السياق.
لنحل المعادلة الأولى $x^y + 1 = y^x$، بدأنا بالنظر إلى الحالة الواضحة حيث $x = y$، وجدنا أن هذا يشكل حلاً للمعادلة. ثم فرضنا $x \neq y$ وقسمنا المعادلة على $(y-1)$، حيث وجدنا تحولًا يُمكننا من ملاحظة أن $x$ يجب أن يكون فرديًا و $y$ زوجيًا.
الآن، لنفكر في المعادلة الثانية $2x^y = y^x + 7$. لاحظنا أن الطرف الأيمن هو زوجي بينما الطرف الأيسر هو فردي، وهذا يشير إلى أن فرضية $x$ فردي و $y$ زوجي لا تتناسب مع هذه المعادلة. لذا، نستبعد هذه الفرضية.
وبالتالي، نركز على حالة $x = y$، حيث نعود إلى المعادلة الأولى ونجد أنها صحيحة في هذه الحالة. بالتالي، $(x،y) = (k،k)$ هو الحلا الوحيد للمسألة.
القوانين المستخدمة في الحل تشمل:
- التلاحم اللوجي: استخدمنا تلاحم اللوجي لتقسيم المعادلة الأولى على $(y-1)$.
- التحليل الزوجي/الفردي: استخدمنا فحص التحليل الزوجي/الفردي للتعرف على خصائص الأعداد واستبعدنا حالة غير ممكنة.
- الملاحظة الرياضية: لاحظنا أن طرفي المعادلة الثانية هما زوجي وفردي، مما أدى إلى استبعاد حالة الفرضية الأولى.
تمثل هذه القوانين الرياضية والمنطقية الأدوات التحليلية التي استخدمناها لفهم وحل المسألة بطريقة دقيقة ومنطقية.