حلا لمعادلات الأعداد: تحليل وحسابات (مسألة رياضيات)

إذا كانت $p$ و $q$ هما الحل للمعادلات $pq=9$ و $p+q=6$ على التوالي، فإن قيمة $p^2 + q^2$ تكون كالتالي:

لنجد قيمة $p$ و $q$، يمكننا استخدام معادلتين. أولاً، نستخدم معادلة $pq=9$، حيث يكون ضرب العددين مساوياً لتسعة. بناءً على ذلك، يمكننا أن نقول إما $p=3$ و $q=3$ أو $p=-3$ و $q=-3$.

الآن، نستخدم المعادلة الثانية $p+q=6$ لنتأكد من القيم. إذا كانت $p=3$ و $q=3$، فإن $p+q=6$ يتحقق. وإذا كانت $p=-3$ و $q=-3$، فإن $p+q= -6$، وهذا لا يتوافق مع المعطيات.

لذا، الحل الوحيد هو $p=3$ و $q=3$.

الآن، لحساب $p^2 + q^2$، نقوم بتعويض القيم في المعادلة:
$p^2 + q^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18.$

إذاً، قيمة $p^2 + q^2$ هي 18.

لحل المسألة، دعونا نستعرض الخطوات بتفصيل ونستخدم القوانين الرياضية المناسبة.

المعطيات:

1. $pq=9$
2. $p+q=6$

أولاً، لنجد قيم $p$ و $q$، نستخدم قانون ضرب الجذرين لعددين. لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$pq = (p+q)^2 – 2pq$

نعوض القيم المعطاة:
$9 = 6^2 – 2 \times 9$

قم بحساب الجهة اليمنى:
$9 = 36 – 18$

نجد أنه يتحقق:
$9 = 18$

المعادلة غير صحيحة! هذا يشير إلى أن هناك خطأ في المعطيات أو أن القيم المعطاة لا تلبي الشروط.

لنعالج هذا، دعونا نفحص المعطيات مرة أخرى. يمكننا كتابة المعادلات كما يلي:
$pq = 9$
$p + q = 6$

نحاول البحث عن قيم مناسبة لـ $p$ و $q$ تحقق الشروط. قد يكون الحل $p=3$ و $q=3$.

الآن، للتحقق من هذا الحل، نستخدم المعادلة الثانية:
$p + q = 3 + 3 = 6$

المعادلة صحيحة، لذا نؤكد أن $p=3$ و $q=3$ هي القيم الصحيحة.

الآن، للحصول على قيمة $p^2 + q^2$، نقوم بتعويض القيم في المعادلة:
$p^2 + q^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$

القوانين المستخدمة:

1. قانون ضرب الجذرين لعددين: $pq = (p+q)^2 – 2pq$

باختصار، بعد التحليل واستخدام القوانين الرياضية المناسبة، تبين أن القيم الصحيحة هي $p=3$ و $q=3$، وبالتالي قيمة $p^2 + q^2$ تكون 18.