حلا لمعادلات الأعداد الحقيقية (مسألة رياضيات)

لنقم بحساب القيم الفعلية للتعبيرات المعطاة. نُلاحظ أنه يمكننا تجميع معادلتين متتاليتين من المعادلات المعطاة، مما يؤدي إلى معادلة واحدة:
$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} \implies a – b = \frac{1}{c} – \frac{1}{b} = \frac{b – c}{bc}.$

نقوم بضرب الطرفين في $bc$ لتجنب الكسور، فيحصل لدينا:
$a(b – c)bc = b – c.$

الآن، يمكننا أن نقسم الطرفين على $(b – c)$ (مع الاهتمام بأن $b \neq c$) لنحصل على قيمة لـ $abc$:
$abc = \frac{1}{b – c}.$

بناءً على نفس الطريقة، يمكننا دمج المعادلتين الأخريين للحصول على نتيجة مماثلة:
$abc = \frac{1}{c – a} = \frac{1}{a – b}.$

نظرًا لأننا نعلم أن $a \neq b \neq c \neq a$ (بناءً على شرط المسألة)، يجب أن يكون البسط والمقام في كل تعبير غير متساويين. إذاً، القيمة الوحيدة التي يمكن أن تكون متساوية للتعبيرات الثلاثة هي:
$abc = \frac{1}{b – c} = \frac{1}{c – a} = \frac{1}{a – b}.$

إذًا، لحساب قيمة $|abc|$، يكفي أن نحسب القيمة المطلوبة لأحد التعبيرات، ونأخذ القيمة المطلقة لها. على سبيل المثال:
$|abc| = \left|\frac{1}{b – c}\right| = \frac{1}{|b – c|}.$

هذا هو الحل للمسألة الرياضية المعطاة.

لنقم بفحص التفاصيل بشكل أكثر دقة لحل المسألة. سنستخدم قوانين الجبر والعمليات الحسابية الأساسية لحل المعادلات. دعونا نعيد كتابة المعادلات المعطاة:

$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}.$

لنبدأ بحساب القيم الفعلية للتعبيرات المعطاة:

1. لأول تعبير، قمنا بتجميع $a$ و $\frac{1}{b}$ للحصول على معادلة:
   $a – b = \frac{b – c}{bc}.$

2. بضرب الطرفين في $bc$، حصلنا على:
   $a(b – c) = b – c.$

3. قمنا بالقسمة على $(b – c)$ (باستثناء $b = c$) للحصول على:
   $abc = \frac{1}{b – c}.$

نقوم بنفس العملية للتعبيرين الآخرين:

4. للتعبير الثاني، نحصل على:
   $abc = \frac{1}{c – a}.$

5. وأيضاً، للتعبير الثالث:
   $abc = \frac{1}{a – b}.$

الآن، نعود إلى السؤال الرئيسي: كيف نحسب $|abc|$؟

نستخدم الحقيقة التي علمناها من المعادلات الثلاثة، وهي أن القيمة المطلوبة للتعبيرات الثلاثة هي نفسها. إذاً، نختار أي تعبير، ونحسب قيمتها:
$|abc| = \left|\frac{1}{b – c}\right| = \frac{1}{|b – c|}.$

تم استخدام القوانين الأساسية للجبر مثل جمع وضرب المعادلات، وكذلك قواعد الكسور والقيم المطلقة للوصول إلى الإجابة النهائية.