حلا لمصفوفة بالجبر الخطي (مسألة رياضيات)

لنقم بتقييم القيمة المطلوبة للمحدد المجهول $X$ في المصفوفة التي طُلب تقييمها:

$\begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & X \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{vmatrix}$

للقيام بذلك، سنستخدم تقنيات تحليل المصفوفات. نركز أولاً على التصفية باستخدام تطبيق قاعدة التحويلات للمصفوفات. نقوم بتحويل صفوف المصفوفة باستخدام المعادلات التالية:

بعد إجراء هذه التحويلات، تصبح المصفوفة كالتالي:

$\begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ 0 & \cos \beta & X – \sin \beta \cos \alpha \\ 0 & \sin \beta \sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta \end{vmatrix}$

الخطوة التالية هي تحويل الأعمدة باستخدام الجمع والطرح بينها. نقوم بتحويل العمود الثاني بالجمع مع العمود الأول، وبتحويل العمود الثالث بالطرح من العمود الثاني. نحصل على المصفوفة:

$\begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & \cos \beta & X – \sin \beta \cos \alpha \\ 0 & \sin \beta \sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta \end{vmatrix}$

نلاحظ أن العمود الثاني يحتوي على الصفر في الموضع (2,2) وهذا يعني أن قيمة المصفوفة هي صفر. بما أن القيمة المطلوبة هي 1، يجب أن يكون المحدد المجهول $X$ هو:

$X = \sin \beta \cos \alpha$

وبهذا نكون قد حسبنا القيمة المطلوبة للمتغير $X$ وهي تساوي $\sin \beta \cos \alpha$.

لحل هذه المسألة الرياضية، سنقوم بتحليل المصفوفة باستخدام عدة خطوات وتطبيق عدة قوانين وقواعد لتبسيط العمليات الجبرية. سنستخدم قوانين الجبر الخاصة بالمصفوفات والتحويلات البسيطة للصفوف والأعمدة. دعونا نبدأ:

المصفوفة التي نريد تحليلها هي:

$\begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & X \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{vmatrix}$

الخطوة الأولى هي تطبيق التحولات البسيطة للصفوف والأعمدة، وذلك باستخدام قوانين الجمع والضرب:

1. قم بضرب الصف الأول في $\cos \beta$ وجمعه مع الصف الثاني:
   $R_2 \leftarrow R_2 + R_1 \cdot \cos \beta$

2. قم بضرب الصف الثالث في $\cos \beta$ وجمعه مع الصف الثاني:
   $R_2 \leftarrow R_2 + R_3 \cdot \cos \beta$

بعد هذه الخطوات، تصبح المصفوفة:

$\begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ 0 & \cos \beta & X – \sin \beta \cos \alpha \\ 0 & \sin \beta \sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta \end{vmatrix}$

الخطوة الثانية هي تحويل الأعمدة بواسطة الجمع والطرح. قم بجمع العمود الأول مع العمود الثاني وحساب الناتج في العمود الثاني، ثم اطرح العمود الثاني من العمود الثالث:

$C_2 \leftarrow C_1 + C_2, \quad C_3 \leftarrow C_3 – C_2$

وبهذه الخطوة، نحصل على المصفوفة:

$\begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & \cos \beta & X – \sin \beta \cos \alpha \\ 0 & \sin \beta \sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta \end{vmatrix}$

نرى أن القيمة الموجودة في الصف الثاني والعمود الثاني هي $X – \sin \beta \cos \alpha$. الآن، لمعرفة قيمة المتغير $X$ نحتاج إلى أن تكون قيمة المصفوفة هي 1.

القاعدة التي سنستخدمها هي قاعدة “جعل العناصر الرئيسية 1”. قم بضرب الصف الثاني في $\frac{1}{\cos \beta}$ لجعل العنصر الرئيسي في الصف الثاني يساوي 1:

$R_2 \leftarrow \frac{1}{\cos \beta} \cdot R_2$

المصفوفة النهائية تصبح:

$\begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & 1 & \frac{X – \sin \beta \cos \alpha}{\cos \beta} \\ 0 & \sin \beta \sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta \end{vmatrix}$

وبما أن قيمة المصفوفة هي 1، نحصل على المعادلة التالية:

$1 = \cos \alpha \cos \beta \cdot \left( \frac{X – \sin \beta \cos \alpha}{\cos \beta} \right) – 0 – (-\sin \alpha) \cdot 0$

قم بتبسيط العبارات وحل المعادلة للحصول على قيمة المتغير $X$. بناءً على الحسابات، نجد أن:

$X = \sin \beta \cos \alpha$

وبهذا تم الوصول إلى القيمة المطلوبة للمتغير $X$ في المصفوفة المعطاة.