حلا لمشكلة ملء الخزان في الوقت المناسب (مسألة رياضيات)

أنبوبان يملؤان خزانًا في 12 دقيقة و 20 دقيقة على التوالي. تم فتح الأنبوبين معًا ، وبعد فترة من الزمن تم إغلاق الأنبوب الأول وامتلأ الخزان تمامًا في 10 دقائق. ما هو الوقت الذي تم فيه فتح الأنبوب الأول؟

لنحل هذه المسألة الرياضية، نفترض أن الخزان يمتلئ بالماء بمعدل وحدوث تغيير في حجمه بوحدة الحجم في الوقت الواحد. لنعرف معدل ملء الأنبوب الأول، نقوم بحساب كمية الماء التي يملأها في الدقيقة الواحدة. إذا كان الأنبوب الأول يملأ الخزان في 12 دقيقة، فإن معدل ملء الأنبوب الأول هو 1/12 من حجم الخزان في الدقيقة الواحدة.

بالنسبة للأنبوب الثاني، إذا كان يملأ الخزان في 20 دقيقة، فإن معدل ملءه هو 1/20 من حجم الخزان في الدقيقة الواحدة.

عندما يتم فتح الأنبوبين معًا، يتم جمع معدلات الملء، لذلك:

معدل ملء الأنبوبين الثنائي = معدل ملء الأنبوب الأول + معدل ملء الأنبوب الثاني
= 1/12 + 1/20
= (5 + 3)/60
= 8/60
= 2/15 من حجم الخزان في الدقيقة الواحدة.

عندما تم فتح الأنبوبين معًا لمدة معينة، ثم تم إغلاق الأنبوب الأول بعد فترة من الزمن، يتم تحديد مقدار الماء الذي تم ملؤه بواسطة الأنبوب الأول بمعدله الخاص. لنفرض أن الفترة التي تم فيها فتح الأنبوب الأول كانت $t$ دقيقة.

إذاً، كمية الماء التي تم ملؤها بواسطة الأنبوب الأول خلال هذه الفترة هي $\frac{2}{15} \times t$ من حجم الخزان.

عندما يتم إغلاق الأنبوب الأول ويتم ملء الخزان بواسطة الأنبوب الثاني فقط لمدة 10 دقائق، يكون الماء الإجمالي الملء خلال هذه الفترة هو $\frac{1}{20} \times 10$ من حجم الخزان.

ونعلم أن الماء الإجمالي الملء خلال هذه الفترة هو أيضًا مجموع كمية الماء الملؤة بواسطة الأنبوب الأول والكمية الملؤة بواسطة الأنبوب الثاني، لذلك:

$\frac{2}{15} \times t + \frac{1}{20} \times 10 = 1$

الآن يمكننا حساب قيمة $t$ وهي الوقت الذي كان فيه الأنبوب الأول مفتوحًا:

$\frac{2}{15} \times t = 1 – \frac{1}{2}$

$\frac{2}{15} \times t = \frac{1}{2}$

$t = \frac{15}{4}$

إذاً، الأنبوب الأول كان مفتوحًا لمدة $\frac{15}{4}$ دقيقة.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونذكر القوانين المستخدمة في الحل. سنقوم باستخدام قانون تدفق العمل (Rate * Time = Work) ونطبقه على كل أنبوب.

لنمثل حجم الخزان بوحدة مناسبة، سنفترض أن حجم الخزان هو 60 وحدة (هذا يجعل الحسابات أسهل).

للأنبوب الأول، نعلم أنه يملأ الخزان في 12 دقيقة. لذا، معدل ملء الأنبوب الأول هو $\frac{60}{12} = 5$ وحدة في الدقيقة.

للأنبوب الثاني، نعلم أنه يملأ الخزان في 20 دقيقة. لذا، معدل ملء الأنبوب الثاني هو $\frac{60}{20} = 3$ وحدة في الدقيقة.

عندما يعمل الأنبوبان معًا، نجمع معدلاتهما:

$\text{معدل ملء الأنبوبين الثنائي} = \text{معدل ملء الأنبوب الأول} + \text{معدل ملء الأنبوب الثاني}$

$\text{معدل ملء الأنبوبين الثنائي} = 5 + 3 = 8$ وحدات في الدقيقة.

الآن، لنحسب الكمية التي يملأها الأنبوب الأول خلال فترة $t$ دقيقة. نستخدم قانون تدفق العمل:

$\text{عمل الأنبوب الأول} = \text{معدل ملء الأنبوب الأول} \times \text{الزمن}$

$\text{عمل الأنبوب الأول} = 5 \times t$

عندما يتم إغلاق الأنبوب الأول، نعلم أن الأنبوب الثاني يملأ الخزان بوحدة في الدقيقة. لذلك، خلال الفترة المتبقية (10 – t) دقائق، يملأ الأنبوب الثاني $\frac{1}{20} \times (10 – t)$ من حجم الخزان.

نجمع كل هذه القيم للوصول إلى المعادلة النهائية:

$5t + \frac{1}{20} \times (10 – t) = 60$

لحل هذه المعادلة، نقوم بتوسيعها وحساب القيم:

$100t + 1 \times (10 – t) = 1200$

$100t + 10 – t = 1200$

$99t + 10 = 1200$

$99t = 1190$

$t = \frac{1190}{99}$

$t \approx 12.02$ دقيقة

إذاً، الأنبوب الأول كان مفتوحًا لمدة حوالي 12.02 دقيقة. في هذا الحل، استخدمنا قانون تدفق العمل وقمنا بتمثيل الحجم بوحدة مناسبة لتسهيل الحسابات.