حلا لمشكلة تصريف الخزانات بفعالية

الأنابيب A و B تملأ خزانًا في 60 دقيقة و 75 دقيقة على التوالي، بينما الأنبوب الثالث يفرغ الخزان. عند فتح جميع الأنابيب معًا، يمتلئ الخزان في 50 دقيقة. كم تستغرق الأنبوب الثالث وحده لتفريغ الخزان؟

لنمثل معدل العمل بالأنابيب بالنسبة للزمن بالتالي:
معدل عمل الأنبوب A = 1/60 (خزان/دقيقة)
معدل عمل الأنبوب B = 1/75 (خزان/دقيقة)
معدل عمل الأنبوب الثالث (الفارغ) = -1/x (خزان/دقيقة)، حيث x هو الزمن الذي يحتاجه الأنبوب لتفريغ الخزان بمفرده.

عندما تعمل الأنابيب معًا، يمثل المعدل الإجمالي للعمل المعدل الجماعي، وهو يعبر عن معدل العمل الإيجابي للأنابيب A و B معًا، والذي يعادل معدل العمل السالب للأنبوب الثالث:

$\frac{1}{60} + \frac{1}{75} – \frac{1}{x} = \frac{1}{50}$

لحساب القيمة النهائية لـ x (زمن الأنبوب الثالث لتفريغ الخزان بمفرده)، يتطلب الأمر حساب المعادلة أعلاه.

قد يكون الحساب معقدًا، ولكن يمكن تبسيطه عن طريق ضرب جميع الأجزاء في المعادلة في 600 (وهو انتاج العددين 60 و 75) لتجنب الكسور:

$10 + 8 – \frac{600}{x} = 12$

ترتبط الآن الكسر والقيم الأخرى، ويمكن حساب x عن طريق إعادة ترتيب المعادلة:

$\frac{600}{x} = 6$

بالتالي:

$x = 100$

إذاً، يحتاج الأنبوب الثالث وحده إلى 100 دقيقة لتفريغ الخزان.

في هذه المسألة، نحن نستخدم قانون العمل المتوسط لمعدلات العمل. القانون ينص على أن معدل العمل الإجمالي عند استخدام عدة أنابيب معًا يمكن حسابه بجمع معدلات العمل الفردية ومن ثم حساب معدل العمل النهائي على أساس ذلك.

لحساب معدل العمل لكل أنبوب، نستخدم العلاقة بين الوقت والعمل حيث العمل يتناسب عكسيًا مع الزمن. يتم تعبير هذه العلاقة بالمعادلة:

$\text{معدل العمل} = \frac{1}{\text{الوقت}}$

الأنبوب A يملأ الخزان في 60 دقيقة، لذا معدل عمله هو $\frac{1}{60}$، والأنبوب B يملأ الخزان في 75 دقيقة، لذا معدل عمله هو $\frac{1}{75}$.

أما الأنبوب الثالث الذي يفرغ الخزان، فإن معدل عمله يعبر عنه بالقيمة المعكوسة للزمن الذي يحتاجه للتفريغ، ونمثله بـ $\frac{-1}{x}$ حيث x هو الوقت اللازم لتفريغ الخزان بالكامل.

عند فتح جميع الأنابيب معًا، يكون معدل العمل الإجمالي هو جمع معدلات العمل لكل أنبوب:

$\frac{1}{60} + \frac{1}{75} + \frac{-1}{x} = \frac{1}{50}$

لحل هذه المعادلة، يمكننا ضرب كل جزء في 600 (وهو العامل المشترك للقسمات 60 و 75) لتجنب الكسور:

$10 + 8 – \frac{600}{x} = 12$

ثم يمكن ترتيب المعادلة لحساب قيمة x:

$\frac{600}{x} = 6$

$x = 100$

إذاً، يحتاج الأنبوب الثالث وحده إلى 100 دقيقة لتفريغ الخزان.