حلا لمسألة 72n كعدد مربع

إذا كان $n$ هو أصغر عدد صحيح بحيث يكون $72 \times n$ هو مربع لعدد صحيح، فما هو قيمة $n$؟

حل المسألة:

لنحسب قيمة $n$ باستخدام المعادلة:

$72n = m^2$

حيث $m$ هو عدد صحيح. لكن يجب أن يكون لدينا عاملين متتاليين في ضرب يكونان على الأقل أكبر من $72$. نبدأ بتحليل العدد $72$:

$72 = 2^3 \times 3^2$

نلاحظ أننا بحاجة إلى عاملين متتاليين يتكونان من هذه العوامل. يمكننا اختيار أحد هذه العوامل مع العامل الذي يليه للحصول على عاملين متتاليين. لذلك نختار:

$m = 2 \times 3 = 6$

الآن نقوم بحساب $n$:

$n = \frac{m^2}{72} = \frac{6^2}{72} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

إذا كان $n = \frac{1}{2}$ هو أصغر عدد صحيح يجعل $72 \times n$ مربعًا لعدد صحيح.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى البحث عن عدد صحيح $n$ بحيث $72n$ يكون مربعًا لعدد صحيح $m$. نستخدم في ذلك القوانين المتعلقة بالتحليل الأولي للأعداد وقوانين الأعداد الكاملة.

نبدأ بتحليل عدد $72$ إلى عوامله الأولية. لنتيح لنا الرؤية الواضحة، نكتبه كمضاعفة للأعداد الأولية:

$72 = 2^3 \times 3^2$

الخطوة التالية هي اختيار عاملين متتاليين يحققان الشرط المطلوب. في هذه الحالة، يمكننا اختيار عاملين كـ $2$ و $3$ لأنهما متتاليين ويتكونان من العوامل الأولية المذكورة. الآن نقوم بحساب قيمة $m$ عندما تكون $n = 2 \times 3$، أي $m = 6$.

الآن، نستخدم هذه القيم في المعادلة:

$72n = m^2$

$72 \times (2 \times 3) = 6^2$

$72 \times 6 = 36 \times 2$

$432 = 72 \times 6 = 6^2$

هنا تكمن الإجابة، حيث $n = 6$ هو العدد الذي يجعل $72n$ يكون مربعًا للعدد $6$. في هذا السياق، استخدمنا قوانين الأعداد الكاملة والتحليل الأولي للعدد لاختيار العوامل المناسبة.