حلا لمسألة مربع المستطيل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

مساحة المربع الذي يتكون على قطر مستطيل وجهه هي 108 1/3 ٪ أكثر من مساحة المستطيل. إذا كانت محيط المستطيل يبلغ 28 وحدة، فما الفارق بين طول وعرض المستطيل؟

الحل:

لنقم بتحديد الطول والعرض للمستطيل. لنمثل الطول بـ “L” والعرض بـ “W”. مع معرفتنا بأن محيط المستطيل هو 28 وحدة، يتبع أن:

$2L + 2W = 28$

نقوم بتبسيط المعادلة إلى:

$L + W = 14$

الآن، بما أننا نعلم أن المربع الذي يتكون على قطر المستطيل يمتلك مساحة تزيد عن مساحة المستطيل بنسبة 108 1/3٪، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$S_{\text{مربع}} = S_{\text{مستطيل}} + 108\frac{1}{3}\% \times S_{\text{مستطيل}}$

نقوم بتبسيط النسبة المئوية:

$S_{\text{مربع}} = S_{\text{مستطيل}} + \frac{325}{300} \times S_{\text{مستطيل}}$

$S_{\text{مربع}} = \frac{625}{300} \times S_{\text{مستطيل}}$

المعادلة الكاملة تصبح:

$S_{\text{مربع}} = \frac{925}{300} \times S_{\text{مستطيل}}$

الآن، نعلم أن مساحة المستطيل هي:

$S_{\text{مستطيل}} = L \times W$

ونعلم أن طول المربع هو ضلع القطر، لذلك:

$L = \sqrt{2} \times W$

نستخدم هذا في المعادلة السابقة:

$S_{\text{مستطيل}} = (\sqrt{2} \times W) \times W = \sqrt{2} \times W^2$

نعود إلى المعادلة الأصلية للمربع:

$S_{\text{مربع}} = \frac{925}{300} \times \sqrt{2} \times W^2$

نعلم أيضًا أن مساحة المربع تتناسب مع ربع طول ضلعه:

$S_{\text{مربع}} = \frac{1}{4} \times (\text{ضلع المربع})^2$

نضع المعادلتين معًا:

$\frac{1}{4} \times (\text{ضلع المربع})^2 = \frac{925}{300} \times \sqrt{2} \times W^2$

نقوم بحساب قيمة $\text{ضلع المربع}$ ثم نحسب الفارق بين الطول والعرض:

$|\text{طول} – \text{عرض}| = |\sqrt{2} \times \text{ضلع المربع} – \text{عرض}|$

بهذا الشكل، يمكننا حساب الإجابة بدقة.

تفاصيل أكثر لحل المسألة:

لنقم بفحص المسألة بتفصيل أكثر واستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية المناسبة:

المعطيات:

1. محيط المستطيل هو 28 وحدة، لذا:
   $2L + 2W = 28$

2. المساحة المطلوبة: المساحة المربع = $\frac{925}{300} \times$ مساحة المستطيل

3. العلاقة بين الطول والعرض: $L = \sqrt{2} \times W$

الحل:

أولاً، حل المعادلة لمحيط المستطيل:
$2L + 2W = 28$
$L + W = 14$

ثانياً، حساب قيمة العرض والطول باستخدام العلاقة $L = \sqrt{2} \times W$.

ثالثاً، حساب مساحة المستطيل:
$S_{\text{مستطيل}} = L \times W$

رابعاً، حساب المساحة المربع:
$S_{\text{مربع}} = \frac{925}{300} \times S_{\text{مستطيل}}$

خامساً، حساب ضلع المربع باستخدام العلاقة بين مساحة المربع وضلعه:
$\frac{1}{4} \times (\text{ضلع المربع})^2 = S_{\text{مربع}}$

سادساً، حساب قيمة ضلع المربع ومن ثم حساب الفارق بين الطول والعرض:
$|\text{طول} – \text{عرض}| = |\sqrt{2} \times \text{ضلع المربع} – \text{عرض}|$

قوانين ومفاهيم رياضية المستخدمة:

1. معادلات الحساب:

   • استخدام معادلة المحيط لحساب علاقة بين الطول والعرض.
   • استخدام معادلة مساحة المربع لتمثيل العلاقة بين مساحة المربع ومساحة المستطيل.

2. علاقة الطول والعرض:

   • استخدام العلاقة $L = \sqrt{2} \times W$ التي تصف العلاقة بين الطول والعرض عند وجود مربع على قطر المستطيل.

3. قوانين الهندسة:

   • استخدام العلاقة بين مساحة المربع وضلعه ($\frac{1}{4} \times (\text{ضلع المربع})^2 = S_{\text{مربع}}$).

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، يمكن حل المسألة بشكل دقيق وفعال.