مسائل رياضيات

حلا لمسألة مجموع التربيعات والمنتجات (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 18/12/2023
0

مجموع تربيعات ثلاثة أعداد هو 62، ومجموع حاصل ضربها مأخوذتين في كل مرة هو 131. اعثر على مجموع هذه الأعداد.

الحل:

مواضيع ذات صلة

لنفترض أن الأعداد الثلاثة هي aa، bb، و cc. إذاً، يمكننا كتابة المعادلات التالية:

a2+b2+c2=62(1)ab+ac+bc=131(2)\begin{align*} a^2 + b^2 + c^2 &= 62 \quad \text{(1)} \\ ab + ac + bc &= 131 \quad \text{(2)} \\ \end{align*}

الآن، لحل هذه المعادلات، يمكننا استخدام تقنيات الجبر. لنقم بخفض المعادلة (2) من المعادلة (1) للحصول على:

(a2+b2+c2)−(ab+ac+bc)=62−131a2+b2+c2−ab−ac−bc=−69\begin{align*} (a^2 + b^2 + c^2) – (ab + ac + bc) &= 62 – 131 \\ a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc &= -69 \\ \end{align*}

الآن، يمكننا تجميع الأعداد المشابهة والحصول على:

(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=−69\begin{align*} (a – b)^2 + (a – c)^2 + (b – c)^2 &= -69 \\ \end{align*}

ومن هنا نستنتج أن جميع الأعداد (a – b)، (a – c)، و (b – c) يجب أن تكون متساوية للصفر. لذا، نحصل على:

a−b=0a−c=0b−c=0\begin{align*} a – b &= 0 \\ a – c &= 0 \\ b – c &= 0 \\ \end{align*}

بالتالي، a=b=ca = b = c. الآن نستخدم هذه القيمة في أي من المعادلتين (1) أو (2) لحساب قيمة العدد الواحد. لنقم باختيار أن a=b=c=xa = b = c = x، حيث xx هو العدد الذي نبحث عنه.

3x2=62x2=623\begin{align*} 3x^2 &= 62 \\ x^2 &= \frac{62}{3} \\ \end{align*}

الآن نستخدم هذه القيمة لحساب المجموع:

a+b+c=x+x+x=3x=3623\begin{align*} a + b + c &= x + x + x \\ &= 3x \\ &= 3\sqrt{\frac{62}{3}} \\ \end{align*}

وهكذا، المجموع الذي نبحث عنه هو 36233\sqrt{\frac{62}{3}}.

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهومين رئيسيين: مفهوم مجموع التربيعات ومفهوم مجموع المنتجات. سنعتمد على تقنيات الجبر للوصول إلى الحل.

فلنبدأ بتعريف الأعداد التي نبحث عنها، ولنفترض أنها aa، bb، و cc. بناءً على المعلومات المعطاة في المسألة، يمكننا كتابة المعادلات التالية:

  1. مجموع التربيعات:
    a2+b2+c2=62a^2 + b^2 + c^2 = 62

  2. مجموع المنتجات:
    ab+ac+bc=131ab + ac + bc = 131

الآن، سنقوم بحساب الفارق بين المعادلتين (1) و (2) للحصول على معادلة جديدة:

a2+b2+c2−(ab+ac+bc)=62−131a^2 + b^2 + c^2 – (ab + ac + bc) = 62 – 131

نقوم بتجميع الأعداد المشابهة للحصول على:

(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=−69(a – b)^2 + (a – c)^2 + (b – c)^2 = -69

الآن، نستنتج أن جميع الأعداد (a−b)(a – b)، (a−c)(a – c)، و (b−c)(b – c) يجب أن تكون متساوية للصفر، لذا:

a−b=0,a−c=0,b−c=0a – b = 0, \quad a – c = 0, \quad b – c = 0

ومن ثم:

a=b=ca = b = c

الآن، نستخدم هذه القيمة في إحدى المعادلات الأصلية، مثل (1)، لحساب قيمة العدد الواحد. لنقم باختيار a=b=c=xa = b = c = x، حيث xx هو العدد الذي نبحث عنه.

3x2=623x^2 = 62

ثم:

x2=623x^2 = \frac{62}{3}

الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب المجموع:

a+b+c=x+x+x=3x=3623a + b + c = x + x + x = 3x = 3\sqrt{\frac{62}{3}}

تم استخدام قاعدة التعامل مع مجموعات الأعداد الكبيرة وقانون حساب جذر التربيعي في الحل. أيضا، تم استخدام قاعدة تجميع الأعداد المتشابهة في عملية الجمع والطرح.

اخر تحديث 18/12/2023
0