مسائل رياضيات

حلا لمسألة رياضية معقدة: قيمة X وتحليل المعادلات (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 29/12/2023
0

لنقم بحل المعادلات الثلاث المعطاة:

a+b+c=1,(1)a2+b2+c2=X,(2)a3+b3+c3=3.(3)\begin{align*} a + b + c &= 1, \quad \text{(1)} \\ a^2 + b^2 + c^2 &= X, \quad \text{(2)} \\ a^3 + b^3 + c^3 &= 3. \quad \text{(3)} \end{align*}

لحساب قيمة a4+b4+c4a^4 + b^4 + c^4، يمكننا استخدام العلاقة التالية:

مواضيع ذات صلة
a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2−2(a2b2+a2c2+b2c2).(4)a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 – 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2). \quad \text{(4)}

الآن، لنبدأ في حساب قيمة a4+b4+c4a^4 + b^4 + c^4 باستخدام المعلومات المعطاة في المعادلات (1) و (2). نعوض قيمة XX في المعادلة (4)، ونقوم بتبسيط العبارات:

a4+b4+c4=(X)2−2(a2b2+a2c2+b2c2)=X2−2((a2+b2+c2)2−2(ab+ac+bc))=X2−2((X)2−2(1))استخدام المعادلة (1) والتبسيط=X2−2X2+4=4−X2.(5)\begin{align*} a^4 + b^4 + c^4 &= (X)^2 – 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) \\ &= X^2 – 2((a^2 + b^2 + c^2)^2 – 2(ab + ac + bc)) \\ &= X^2 – 2((X)^2 – 2(1)) \quad \text{استخدام المعادلة (1) والتبسيط} \\ &= X^2 – 2X^2 + 4 \\ &= 4 – X^2. \quad \text{(5)} \end{align*}

لكننا نعلم أن قيمة a4+b4+c4a^4 + b^4 + c^4 هي 6، وبالتالي يمكننا كتابة المعادلة التالية:
6=4−X2.6 = 4 – X^2.

الآن، سنقوم بحساب قيمة XX من المعادلة أعلاه:

6=4−X2X2=−2X=−2.\begin{align*} 6 &= 4 – X^2 \\ X^2 &= -2 \\ X &= \sqrt{-2}. \end{align*}

ومع العلم أن الجذر التربيعي للعدد السالب ليس عددًا حقيقيًا، إذاً لا يوجد حلاً حقيقيًا للمعادلة.

بهذا الشكل، يمكننا التأكيد على أن القيمة المعطاة لـ XX تتطلب تعميم الحل إلى مجال الأعداد المركبة.

المزيد من المعلومات

لنقم بحل المسألة بتفاصيل أكثر والإشارة إلى القوانين المستخدمة:

المعطيات:

a+b+c=1,(1)a2+b2+c2=X,(2)a3+b3+c3=3.(3)\begin{align*} a + b + c &= 1, \quad \text{(1)} \\ a^2 + b^2 + c^2 &= X, \quad \text{(2)} \\ a^3 + b^3 + c^3 &= 3. \quad \text{(3)} \end{align*}

الهدف: حساب قيمة a4+b4+c4a^4 + b^4 + c^4 وتحديد قيمة XX.

نستخدم القانون التالي لحساب a4+b4+c4a^4 + b^4 + c^4:

a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2−2(a2b2+a2c2+b2c2).(4)a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 – 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2). \quad \text{(4)}

نستخدم المعادلات (1) و (2) في القانون (4):

a4+b4+c4=(X)2−2(a2b2+a2c2+b2c2)=X2−2((a2+b2+c2)2−2(ab+ac+bc))استخدام (1) في التبسيط=X2−2((X)2−2(1))استخدام (2) في التبسيط=X2−2X2+4=4−X2.(5)\begin{align*} a^4 + b^4 + c^4 &= (X)^2 – 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) \\ &= X^2 – 2((a^2 + b^2 + c^2)^2 – 2(ab + ac + bc)) \quad \text{استخدام (1) في التبسيط} \\ &= X^2 – 2((X)^2 – 2(1)) \quad \text{استخدام (2) في التبسيط} \\ &= X^2 – 2X^2 + 4 \\ &= 4 – X^2. \quad \text{(5)} \end{align*}

لكن المعلومة المعطاة هي a4+b4+c4=6a^4 + b^4 + c^4 = 6. لذا:
6=4−X2.6 = 4 – X^2.

نحل لـ XX:

6=4−X2X2=−2X=−2.\begin{align*} 6 &= 4 – X^2 \\ X^2 &= -2 \\ X &= \sqrt{-2}. \end{align*}

في هذه النقطة، نستخدم قانون المربعات للأعداد المركبة:

−2=2i,\sqrt{-2} = \sqrt{2}i,

حيث ii هو الوحدة التخيلية.

لذا، قيمة XX هي 2i\sqrt{2}i.

القوانين المستخدمة:

  1. قانون الجمع والطرح للأعداد الحقيقية: يتيح لنا حل المعادلات الخطية.
  2. قانون التعويض: نستخدم قيم المتغيرات لتبسيط المعادلات.
  3. قانون المربعات للأعداد المركبة: يستخدم لحساب الجذور التربيعية للأعداد المركبة.

اخر تحديث 29/12/2023
0